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Euklids enthalten, der in sgeometrischer Form die Formel(a+) b+ 4. 22— 6* a+ 9)*

giebt. 200 Jahre nach Euklid ist Heron(ed. Friedr. Hultsch, p. 133) durch die Aufgabe:„Aus der Summe des Durchmessers, der Peripherie und des Flächeninhalts eines Kreises jede dieser Zahlen einzeln zu bestimmen“ zu einer solchen Gleichung geführt, und seine Lösungsart stimmt mit dem Verfahren, welches Diophant(um 300 n. Chr.) einschlägt, ganz überein. Die Griechen führen nämlich die Gleichung a x ²2+bX=c nicht durch Division mit a auf die Form X Tmx=nh zurück, sondern sie multiplizieren mit a(wohl um lästige Brüche zu ver- meiden), wodurch sie a² X 2 Pabx= ac oder(a x) ²+ b(ax)= ac erhalten. Aus dieser

b b J ² Gleichung folgt zunächst a X=— 2+ 1 ac 40 ½) und dann durch Division mit a der

Wert von x selbst. Die Araber und Inder dagegen bewirken wie die Neueren durch Division, beziehungsweise Multiplication, daß x ² den Coeffizienten 1 habe, und gehen erst dann an die Auflösung. So macht es auch Misrachi.

Ebenso muß er natürlich, da die negativen Zahlen sich zu seiner Zeit noch nicht das Bürgerrecht erworben hatten, drei verschiedene Fälle der Gleichung zweiten Grades, nämlich X 1 Pax= b, X*= a xX+ b, X 2+b= ax unterscheiden und jeden Fall einzeln be- handeln.

Seine Abhängigkeit von den Arabern zeigt sich aber in noch einem dritten Punkt, der besonders charakteristisch ist:

Während wir gewohnt sind, bei jeder Gleichung zweiten Grades die Unbekannte X selbst zu bestimmen und dann, falls nach X ² gefragt sein sollte, den gefundenen Wert von x mit sich selbst zu multiplizieren, haben die Araber ein besonderes Verfahren gelehrt, welches X*⁴ direkt liefert. Um z. B. die Gleichung X 2 †+ ax= b für X ²2 zu lösen, multiplizieren sie mit a? und erhalten a 2 x 2 T+asx= a 2 b oder(a x) ²2+ a 2(a X)= a ²2 b; da-

a 2) 2 a 4 a 2 V a 4

raus folgt dann(a x) 2+ a²(a X) 40)= a ² b+ 1 und ax+ 2.= a* b+ 71 2

Andererseits giebt die vorgelegte Gleichung, wenn beiderseits addiert wird,

2 2 X †+ ax+ 21 b+ 2 und durch Subtraction der vorletzten von der letzten Gleichung

a ² 4. folgt x ²2= b+ 2.— v a ² b+ 1. Ganz so verfährt Misrachi, wie man unten

sehen wird.

Die Behandlung der quadratischen Gleichung seitens der Araber zeigt noch eine andere Eigentümlichkeit: Sie erläutern in ihren theoretischen Werken die Lösung oder vielmehr„be- weisen die Richtigkeit“ derselben durch eine geometrische Figur. Dies Verfahren kann nur als ein Rückschritt angesehen werden..

Schon Diophant hatte, indem er in seinem Hauptwerk— wenn man von der einen, vielleicht eingeschobenen Aufgabe V, 13 absieht— immer nur mit allgemeinen Zahlenausdrücken rechnet, ohne seine Zuflucht zu geometrischen Darstellungen zu nehmen, eine von der Geometrie unabhängige Algebra geschaffen. Der Teil seines Werkes, in welchem die