Ueber orthogonale Trajectorien der Kegelschnitte.

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Allgemeine Formel.

Trajectorie nennt man jede Linie, welche eine Schar von Curven derselben Art unter dem- selben Winkel schneidet. Die Schar der Curven wird hierbei erhalten, wenn man in der Gleichung einer Curve einen Parameter sich stetig ändern lässt. Orthogonal wird die Trajectorie genannt, wenn der Winkel, unter dem die Curven durchschnitten werden, ein Rechter ist. In einer solchen wird also die Tangente jedes Punktes mit der Tangente des Punktes der ursprünglichen Curve einen Rechten bilden.

Zur Entwickelung der Gleichung der orthogonalen Trajectorie dient folgendes:

Es sei die Gleichung der Curve, deren Trajectorie gesucht wird

f(C. y, h)= 0(¹) und darin h der veränderliche Parameter. Es ist dann

df dy— dx d 241 dy

Dies ist bekanntlich die trigonometrische Tangente des Winkels, welchen die Tangente im Punkte x, y der Curve mit der XAxe bildet. Bezeichnet man ihn mit z, so hat man df d X tan 2=—(2) dy Nennt man p den vollständigen Differentialquotienten der Gleichung der Trajectorie, so ergibt sich, wenn die Trajectorie orthogonal sein soll

1 cot=— p, also tan=—

und hieraus in Verbindung mit(2)