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Ziehen wir durch den Punct m in der Ebene des Grunddreiecks(Fig. 7) eine Trans- versale, welche die drei Parallelen durch die Ecken a, b, c des Dreiecks in al, b und c schneidet, so sind a ai, b bi, cci die Coordinaten ui, ue und uz der Transversale.
Ziehen wir sodann von c durch m bis nach d auf der Geraden a b, und durch d die Parallele d dr= ug, so ist
u. d b † ue a d= ux. a b. Es ist aber ferner ug: ug=dm:— mc, mithin u. d b. m c+ ue ad mc dm ab= o. Hierin ist db m c sin 9 2 A m b= 2 a d. mc. sin= 2 Amca= 2 M△̈ai, md ab sin 6. 2 Aam ab= 2 Ml12, wenn à³ einer der Winkel bei d. Daher wird unsere Gleichung zu u 2s+ d us=o.
Ueber die Bedeutung einer nicht homogenen Gleichung ersten Grades zwischen
ui, u und uz erlangen wir Aufschluss, indem wir sie mit Hilfe der Bedingungsgleichung u he e h u e= 2 M△
homogen machen.
§. 13.
Die Coordinaten ui, ua, us und die Plücker'schen homogenen(oordinaten der Geraden.
Den Zusammenhang der von uns benutzten homogenen Coordinaten ul, u?, uz und der Plücker'schen Coordinaten der Geraden erkennt man leicht. In beiden Coor- dinatensystemen benutzt man zur Festlegung einer Geraden drei an dieselbe von den Fundamentalpuncten gezogene Strecken. Während diese aber bei uns parallel einer gegebenen Richtung gehen, stehen dieselben bei Plücker senkrecht auf den festzulegen- den Geraden. Man erhält daher die Plücker'schen Strecken, unter Voraussetzung der- selben Fundamentalpuncte, wenn man ul, ug und uz mit dem Cosinus des Winkels multiplicirt, den jene Lothe injeder Lage der Geraden mit der festen Richtung unserer Axen machen. Diese Operation ist so einfach, dass es auf den ersten Blick unnöthig scheinen mag, neue Coordinaten statt der von jenem berühmten Mathematiker eingeführten zu be- nutzen. Allein die von uns angewandten Coordinaten bieten doch einige wesentliche Vor- theile. Zuerst ist es ein Vorzug, dass sich, bei nur zwei Coordinaten zur Fest- legung der Geraden, die Gleichung des Punctes in sehr einfacher, ja bei der von uns adoptirten Bezeichnung mehrfach in identischer Form mit der Glei- chung der Geraden in cartesischen Coordinaten ergiebt, während der Versuch, eine