25

§. 12. Trimetrische Coordinaten der Geraden. 1.— In den Anwendungen der Geradencoordinaten auf die Ermittelung der

merkwürdigeren Puncte am Dreieck haben sich die Gleichungen dieser Puncte immer ergeben als Aggregate aus den Gleichungen der drei Eckpuncte des Dreiecks. Man kann nun zeigen, dass die Gleichung eines jeden Punctes u= AX+ B y+ C= o als Summe der mit gewissen Coefficienten multiplicirten Gleichungen dreier nicht in einer Gerade liegender Puncte ui= o, uz= o, ug= o dargestellt werden kann. Setzen wir nämlich u= k ui+ 1 u.+ m uz, so ergiebt sich

(A B Cz)“

(Au B C)

(A B. G)' wenn wir allgemein mit(Ai B Ca) die Determinante

Ai Bi-

Ae Ba Ca

43 B Ca

bezeichnen.

Nun sind aber ux, ua, ug, wenn wir uns dieselben in der Normalform denken, die den Axen parallel genommenen Abstände der Puncte

u= o, u.= o, uz= o

von den Geraden x y, die durch den Punct u= o gehen. Dadurch haben wir also eine Gleichung des Punctes erlangt in den Geradencoordinaten ul, ug, ug, welche die den Axen(d. h. irgend einer Richtung) parallelen Abstände der Geraden von drei festen Puncten sind. Diese Fundamentalpuncte dürfen nicht in einer Geraden liegen, weil sonst der Nenner der Brüche, welche die Coefficienten von ut, u und uz sind, nach§. 8 zu Null wird.

Die Coordinaten ui, ue und uz sind nicht von einander unabhängig, sondern durch die Gleichung

u hes † e ee ee= 2 A mit einander verbunden, worin die h die Abstände der Axen nach Grösse und Rich- tung sind, Q△ aber den Inhalt des von den Anfangspuncten der Coordinaten gebil- deten Dreiecks vorstellt. 4