= 2. a1p. 2.[1—(1): 3.(2·1)—.... J.

d. h. die Curve ist so lang, als der Umfang einer Ellipse, deren grosse Halbaxe= akp= ag cos a, und deren Excentricität

— I1 L cos as—*

14 4. cos a Diese Formel hat jedoch nur dann Gültigkeit, wenn p= 4 cosa,

da nur in diesem Falle e ein ächter Bruch sein und mithin obige Reihe convergiren kann. Für die Fälle, wo p— cos a, also k kleiner als 1 ist, verwandeln wir die Gleichung für ds in folgende:

48= †. Vi=(1—*¹) cs p. d⁴* — ſaw. V/ 1— ei*¹ cos 2 4

Zwischen den Grenzen)= o und= 3 ist dann:

56= a. 2[1—()—3.(2*1 1 2²)—..... 1 u= 2 ap. 1—()— 3.(-4as 4.. 31

Die ganze Curvenlänge beträgt demnach so viel als der Umfang einer Ellipse, deren grosse Halbaxe= ap, und deren Excentricität:

also

V pa— 42 c08 ²

644— 1—*— 7 Wenn drittens p=. cos a, also ℳ= 1 ist, so hat man: 48—=— a dup 71 , 27 m1 844—. a d— a 2

u= 2ap zr.

Die ganze Curvenlänge ist also gleich dem Umfange eines Kreises, dessen Radius= ap ist.

Ein hierher gehöriges Beispiel liefert die Curve, für welche „= 1, 9— 2,— 600, wo die Curvenlänge genau so gross als der Umfang des Grundkreises ist.

Da die Curve(II.) auf einer Kegelfläche liegt, so begrenzt sie auf dieser gewisse Flächen- stücke, zu deren Berechnung wir den Kegelmantel in eine Ebene ausbreiten. Um jedoch möglichst einfache Gleichungen zu erhalten, drehen wir zuvor das Coordinatensystem um 90°von der Axe der + a nach der Axe der— y hin, d. h. wir substituiren in die obige Gleichung(II.):

1 Arec(un— 2) 27+ Arec(ueg=*.).

wodurch wir folgende Gleichungen erhalten:

1. 2 4 rο(n— 53)— Are(eos—— 2) 7 a sina

„2¶+ 2—= 22 colg a..