Einleitung.

Wenn sich die Seiten eines veränderlichen n-Ecks um n feste Punkte drehen, während

n— 1 ihrer n(..! Schnittpunkte auf festen Geraden fortrücken, so beschreiben die übrigen

— 2) Schnittpunkte Kegelschnitte. Da 5 Bestimmungsstücke, die voneinander un- abhängig sind, für einen Kegelschnitt ausreichen, so genügt als n-Eck auch ein Dreieck. Der Lehrsatz lautet für diesen besonderen Fall: Wenn sich die Seiten eines veränderlichen Drei- ecks um drei feste Punkte drehen, während 2 Ecken auf festen Geraden fortrücken, so beschreibt die dritte Ecke einen Kegelschnitt. Diese Erzeugungsweise der Kegelschnitte hat Maclaurin aufgefunden¹. Sie ist ein Beispiel zu der von H. Grassmann entwickelten geometrischen Er- zeugungsweise ebener Kurven.— Der Grundbegriff der Grassmann’schen Kurventheorie ist das planimetrische Produkt. Unter dem planimetrischen Produkt zweier Punkte hat man die durch sie begrenzte gerade Linie zu verstehen. Das Produkt(A B) bedeutet also das von A bis B gemessene Stück ihrer Verbindungslinie?. Das planimetrische Produkt zweier ver- schiedener gerader Linien bedeutet ihren Schnittpunkt. Das Produkt(a b) ist der Schnitt-, punkt der unbegrenzt langen Linien a und b. Ausser diesen Erklärungen kommen noch folgende Festsetzungen in Betracht:

1. Das Produkt(A B) wird Null, wenn die Punkte A und B zusammenfallen.

2.(a b) wird Null, wenn die Linien a und b sich decken.

3.(Aa) wird Null, wenn der Punkt in der Linie liegt.

Planimetrische Produkte mit 3 Faktoren.

A, B, C sind drei Punkte einer Ebene mit der vorläufigen Einschränkung, dass sie nicht in gerader Linie liegen.(A B C) stellt den Flächenteil vor, der mit dem Parallelogramm ABOD gleiche Grösse hat und worin AB mit CD der Länge und Richtung nach überein- stimmt. Liegen die drei Punkte A, B, C in gerader Linie, so ist(AB C)= 0. Die Gleichung eines beweglichen Punktes X, der mit den festen Punkten A und.B auf derselben Geraden liegen soll, lautet(XA B)= 0.

Wenn a, b, c drei gerade Linien einer Ebene sind, die durch einen Punkt gehen, so ist(a bc)= 0. Die Gleichung einer beweglichen Geraden x, die mit den festen Geraden a und b durch einen Punkt gehen soll, lautet(X a b)= 0.

¹ Nähere Literaturangabe findet man in der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften III C1 Kegelschnitte und Kegelschnittsysteme von Friedrich Dingeldey, Darmstadt. S. 34. 1

2 Grosse lateinische Buchstaben bedeuten Punkte, kleine Buchstaben gerade Linien. Die planimetrischen Produkte werden, um sie von algebraischen zu unterscheiden, in Klammern gesetzt.(II. Grassmann,„Die lineale Ausdehnungslehre“, Leipzig 1844,§ 147, Werk 1.)

(Schlegel,„System der Raumlehre“, Leipzig 1872, 1. Teil. S. 102 u. fl.)