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annten imaginären Größen. Realität derſelben.

Die Behauptung, daß die ſogenannten imaginären Größen Realität haben, iſt nicht neu, denn ſie iſt ſchon früher von verſchiedenen Seiten ausgeſprochen, ganz beſonders aber von dem ausgezeichneten Mathematiker Gauß auf eine ſehr anſchauliche Weiſe begründet worden. Obgleich nun die Anſicht und Behandlungsweiſe von Gauß in manche Schulbücher übergegangen iſt, ſo ſcheint doch die Realität dieſer Größen noch nicht allgemein anerkannt zu ſein, da, wie in älteren, ſo in neueren Werkeu immer noch behauptet wird, die imaginären Größen ſeien überhaupt keine reelle Zahlen.— n

Da ich dieſe Auſicht nicht theilen kann; da mir insbeſondere kein Buch bekannt ge⸗ worden iſt, in welchem auf das Weſen dieſer Gröͤßen arithmetiſch und geometriſch zugleich hingewieſen wird: ſo habe ich es für nicht unzweckmäßig gehalten, dieſen Gegenſtand hier in beiderlei Hinſicht zu betrachten, um dadurch insheſondere das Verſtändniß dieſer Größen bei

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meinen Schülern zu fördern.—

A. Arithmetiſche Begründung.

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ggwei Gegeuſtände, welche zu einander in Beziehung ſtehen, oder doch in ſolcher gedacht werden können, ſind entweder einſtimmig oder entgegengeſetzt. Die entgegengeſetzten Gegenſtände unterſcheiden ſich dadurch, daß der eine durch das gleichzeitige Auftreten des andern entweder ganz oder theilweiſe vernichtet wird, und daß der zweite Gegenſtand nur in einer andern Form des erſten erſcheint. Hierher gehörige Beiſpiele ſind: Einnahme und Ausgabe, Wirkungen von Kräften in grader Linie nach entgegengeſetzten Richtungen, u. ſ. w. Es hängt dahei ganz von unſerer Willkür oder von Umſtänden ab, welchen von beiden Gegen⸗ ſtänden wir als Gegenſatz des andern betrachten wollen, ſo kann z. B. Ausgabe als Gegen⸗ ſatz der Einnahme, oder umgekehrt Einnahme als Gegenſatz der Ausgabe angeſehen werden.—

Zezeichnet man ſolche Gegenſtände durch Zahlen, deuen jedoch dieſelbe Einheit zu Grunde liegen muß, ſo werden dieſe Zahlen bei einſtimmigen Gegenſtänden durch das Zeichen des Zuzählens(), bei entgegengeſetzten durch das Zeichen des Abzählens(—) verbunden. Mit ſolchen Zahlen laſſen ſich dieſelben arithmetiſchen Geſchafte vornehmen, wie mit reinen oder abſo⸗ luten Zahlen, ſo ſind z. B. 124 fl. Einnahme und 116 fl. Einnahme, wenn nach der Summe gefragt wird, 124+ 116= 240 fl. Einnahme, hat man aber 236 fl. Einnahme und 112 fl. Ausgabe, und man fragt nach dem Ueberſchuß der Einnahme, ſo erhält man 236— 116

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124 fl. Mehreinnahme. h, r nh h ee In letzter Beziehung finden bei reinen Zahlen folgende drei Fälle ſtatt: 1) Beide Zahlen ſind gleich, z. B. † 25— 25= 0, d. h. man ſoll von 25 Einhei⸗ ten ebenſoviele wegnehmen, wo alſo nichts übrig bleibt; es kann die Auſgabe aber auch den