14.
Dieſe Werthe laſſen ſich leicht geometriſch darſtellen; bezüglich des Fünfeckes mag die Be⸗ merkung gemacht werden, daß hier 0C gleich dem größten Stücke der ſtetig getheilten halben Linie OAl iſt.
5. Bildet man nach einander die Gleichungen der Linien A2 A., As An-r ec., d. h. derjenigen. Linien, welche durch Eckpuncte gehen, deren Indices die Summe n+ 2 betragen, ſo findet man bei denſelben die nämliche Richtungsconſtante wie bei der Tangente in Ar. So gilt für AAAn-e die
Gleichung 7 6 1 sin 1½(A4+ An- 2)+. à(0s 1½(44+ A-= 2)= C08 ½(44— An- ²) oder Msin 21+ Seos 21= coshr,
welche, mit der Tangentengleichung im Puncte Au verglichen, dieſelbe Richtungsconſtante wie dieſe aufweiſet. Somit laufen ſämmtliche auf die angegebene Art gezogenen Geraden mit einander und mit der Tangente in Au parallel.
Bildet man ferner der Reihe nach die Gleichungen derjenigen Linien, welche durch Ecken gehen⸗ deren Indices zur Summe n+† 1 haben, ſo findet man bei ihnen ebenfalls dieſelbe Richtungs⸗ conſtante. Alſo auch die Linien dieſer Gruppe ſind zu einander parallel. Daraus ergibt ſich nun folgendes allgemeine Verfahren zur Conſtruction eines größten Vieleckes:
Man ziehe in einem beliebigen Puncte Au der Ellipſe eine Tangente und einen Durchmeſſer, trage auf letzterem vom Ellipſenmittelpuncte aus die durch obige Formel beſtimmte Entfernung 00 ab und lege durch C eine Parallele zur Tangente. Dieſe wird die Ellipſe in den Puneten A2 und A, treffen. Verbindet man dann A“ mit A, ſo gibt die durch Ae mit letzterer Linie gezogene Parallele den Punct An an, und eine durch Ane gelegte Parallele zur Tangente beſtimmt wieder⸗ um die Lage von As. Auf dieſe Weiſe die Bildung der Linien obiger beiden Gruppen, welche abwechſelnd mit einander parallel laufen, fortſetzend, erhält man alle Eckpuncte des größten Polygons.
Kennt man die Conſtruction eines größten N⸗eckes, ſo iſt es leicht, von dieſem zu einem 2n⸗ecke überzugehen. Wollte man den umſchriebenen Kreis benutzen, ſo würde man die Winkel⸗ differenzen(2— 41),(48— 2) ꝛc. zu halbiren und die den Winkeln 1½(42— 41), ½(43— 22) ꝛc. entſprechenden Ellipſenpuncte aufzuſuchen haben. Dieſelben findet man aber auch nach I., 3., indem man durch die Mitte der Seiten des Vieleckes Durchmeſſer zieht. Durch die Verbindung der Endpuncte dieſer mit den vorhandenen Ecken desſelben entſteht dann ein größtes 2 n⸗cck.
Unter den größten Vielecken zeichnet ſich beſonders das Dreieck durch ſeine Eigenthümlichkeiten aus. Es wird aber darauf verzichtet, dieſelben hier anzuführen, da ſie theils von Profeſſor Steiner im 30. Bande des Journals von Crelle, theils von Profeſſor Faßbender in einem Programme der Realſchule zu Barmen(1853) behandelt worden ſind. Es mag nur erwähnt werden, daß die in I. aufgeſtellten, auf das Dreieck bezüglichen Formeln beim größten Dreiecke ſich höchſt einfach geſtalten.
6. Bezüglich des kleinſten umſchriebenen N-⸗eckes iſt die Bemerkung von Wichtigkeit, daß nach I., 9. für jeden Eckpunct die Gleichung
2 †()*1 8 7 à Sec- b sec- n n
beſteht, wonach dieſelben auf einer neuen Ellipſe mit den Halbachſen asecn und bseci, deren
Mittelpunct mit der urſprünglichen Ellipſe coincidirt, gelegen ſind. Somit iſt das der urſprüng⸗ lichen Ellipſe umſchriebene kleinſte Vieleck zugleich ein größtes eingeſchriebenes einer neuen Ellipſe. Demgemäß beſitzt es natürlich dieſelben Eigenſchaften, welche überhaupt dem eingeſchriebenen größten Vielecke zukommen. C. H. Meyer.