Einige mathematiſche Aufgaben aus dem Anterrichtsſtoffe der Oberſecunda und Prima des Gumnaſiums.

Die Aufgaben, welche im folgenden behandelt werden, ſind längſt bekannt und gelöſt; doch hofft der Verfaſſer durch die Art der Löſung vielen Fachgenoſſen etwas neues zu bieten.

I. Geometriſche und trigonometriſche Löſung der Gleichungen II. Grades.

Die landläufige trigonometriſche Löſung der Gleichungen II. Grades, die direkt an die alge⸗ braiſche Löſung anknüpft, iſt für die Schüler erfahrungsgemäß ſehr ſchwierig, weil die Einführung des Hülfswinkels und die Umformung des Ausdrucks als ein geſchickter Kunſtgriff, nicht aber als innere Notwendigkeit erſcheint. Schiebt man aber als Zpiſchenglied zwiſchen beide die geometriſche Löſung, ſo ergibt ſich die trigonometriſche von ſelbſt und kann ſofort abgeleſen werden.

Bei der Löſung ſind 2 Fälle zu unterſcheiden: 1) Das am X freie Glied der geordneten Gleichung iſt poſitiv. 2) das am X freie Glied iſt negativ.

1) Wenn die Gleichung einer geometriſchen Deutung fähig ſein ſoll, muß ſie homogen ſein.

Wir ſchreiben daher: X 2— ax+ b2= 0. Setzt man: b== ax— X2= x(a— x) ſo iſt die geometriſche Bedeutung: Ein Rechteck zu konſtruieren aus dem Inhalt b?² und dem halben Umfang a.

Da ſich die Gleichung nicht ändert, wenn man xX durch a— X erſetzt, ſo folgt, daß die beiden Seiten des Rechtecks auch die beiden Wurzeln der Gleichung darſtellen.

Wir folgen in der Konſtruktion der algebraiſchen Löſung:

.=3 1. 4()—b

Man konſtruiere zunächſt 74(2) d 2