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wie jeder hohle, ſo kann er(nach Grundſatz b) nicht ganz innerhalb des letzteren liegen, muß alſo irgendwo über ihn hinausragen, d. h. die gerade Linie, welche den flachen Winkel begränzt, muß wenigſtens den einen Schenkel des hohlen Winkels ſchneiden.

Der Hauptſatz II könnte mit Hülfe dieſes Satzes ſpäter wie oben(p. 33) begründet werden.

Satz III. Linien, welche ſich nicht ſchneiden, ſind in Bezug auf jede Nichtungslinie prrrklan Beweis indirekt aus II.

Satz IV. Linien, welche ſich ſchneiden, bilden mit jeder Richtungslinie auf der Seite der Convergenz inſere Winkel, die größer ſind als ihre inneren correſpondirenden Winkel, und innere Gegenwinkel, welche zuſammen weniger als zwei Rechte betragen.

Beweis aus I, O und ll indirekt.

Es iſt nun ſchon eine Reihe von Jahren, daß ich auf die eben angegebene Weiſe die Parallelentheorie lehre. Die Beweiſe des Satzes lI, des Euklid'ſchen Grundſatzes, von denen ich gewöhnlich nur den erſten und zweiten gebe, haben die meiſten Schüler immer ſehr leicht verſtanden. Das Vergleichen der Winkel, obgleich es unendliche Theile der unendlichen Ebene ſind, fällt ihnen nicht ſchwer. Anders iſt es bei der Bertrand'ſchen und den ihr verwandten Theorieen. Dieſe ſtützen den Beweis des Satzes II auf die Erkenntniß, daß jeder, wenn auch noch ſo kleine Winkel immer größer iſt wie jeder von Parallelen begränzte Gürtel; ſie müſſen alſo unvollſtändig begränzte, d. i. unendliche Theile der Ebene von verſchiedener Art mit einander vergleichen. Wenn auch der Einwurf, daß deßhalb die Vergleichung nicht zuläſſig ſei, nicht ſtichhaltig iſt, weil dieſe Größen, wenn auch nicht zu derſelben Art oder Ordnung, doch zu derſelben Gattung, zu den Flächenräumen gehören, ſo läßt ſich doch das Reſultat der Vergleichung nicht in Zahlen angeben, weil es größer iſt wie jede denkbare Zahl, d. h. weil es unendlich iſ. Zu erkennen aber, daß es Flächenräume von verſchiedenen Ordnungen gebe, die ſo beſchaffen ſind, daß jede Groͤße einer niederen Ordnung gegen die einer höheren verſchwindend klein ſei, dies eben bietet den Schülern die meiſte Schwierigkeit; ich möchte wenigſtens keine Schlüſſe auf dieſe Erkenntniß bauen. Wenn ich dieſelbe aber auch nicht bei meinen Beweiſen vorausſetze, ſo ſuche ich doch am Schluſſe der Parallelentheorie mit Hülfe der Hauptſätze den Schülern klar zu machen, daß vollſtändig umſchloſſene Flächenfiguren gegen Parallelgürtel, und dieſe wieder gegen die Winkel verſchwindend klein ſind, daß daher auch eine Größe höherer Ordnung durch Wegnehmen oder Zuſetzen einer ſolchen niederer Ordnung ebenſowenig wie ein periodiſcher Dezimalbruch durch das Wegnehmen oder Hinzu⸗ fügen einer Periode vermehrt oder vermindert wird; ich laſſe ſie auch davon Anwendungen machen bei den Beweiſen der Sätze über die Winkelſummen der Flächenfiguren, aber erſt, wenn dieſe auf die gewohnliche Weiſe bewieſen ſind.

Nachdem Bertrand und die, welche ihm folgen, gefunden haben, daß(Fig. 15) der Winkel 6 immer größer ſein muß als der Gürtel 6B CL, ſo ſchließen ſie ebenſo wie wir im Beweis 1, daß der größere Winkel über den kleineren Gürtel hinausragen, oder daß ſein Schenkel CH die dem Schenkel cl, welcher auch die eine Gränz⸗ linie des Gürtels iſt, parallele andere Gränzlinie deſſelben(B G) ſchneiden müſſe; d. h. ſie wenden ebenfalls den Grundſatz b an. Die größere oder geringere Verhältnißzahl der verglichenen Groͤßen kann aber die Anwendbar⸗ keit des Grundſatzes nicht bedingen; daher haben auch unſere Schlüſſe in formeller Hinſicht ganz gleichen Werth. Da ich aber bei keinem Mathematiker irgend einen Einwand gegen dieſen Schluß Bertrands gefunden habe, alſo wohl aus dem Stillſchweigen die Billigung deſſelben folgern darf, ſo glaube ich auch hoffen zu dürfen, daß meinen Beweiſen des Euklid'ſchen Grundſatzes die Anerkennung der Mathematiker nicht verſagt werden wird.