3⁵5 Linien, die mit einer dritten, ihrer Richtungslinie, ungleiche correſpondirende⸗ oder innere Gegenwinkel bilden, welche zuſammen keine zwei Rechte betragen. Die analytiſche Definition Euklids darf, wenn ſie nicht mit Recht der Vorwurf der Unvollſtändigkeit treffen ſoll, erſt nach dem Beweiſe des erſten Hauptſatzes gegeben werden.

Hierauf folgen die 4 Hauptſätze mit ihren Beweiſen. Wir haben oben(p. 3) ſchon angegeben, wie dieſelben

nach der Euklid'ſchen Definition heißen; hier wollen wir ſie daher nur in der einfacheren Geſtalt aufführen, welche ſie nach der genetiſchen Definition annehmen.

Satz I. Parallellinien ſchneiden ſich nicht.

Der Beweis iſt der oben(p. 20) gegebene indirekte, welcher ſich auf die Congruenz der beiden von der Richtungslinie und den durch ſie gebildeten Theilen der Parallelen begränzten Gürtel ſtützt.

Satz II. Nichtparallele Linien ſchneiden ſich und zwar auf der Seite der Richtungs⸗ linie, auf welcher ein äußerer Winkel größer iſt wie.ſein innerer correſpondirender, oder auf welcher die zwei inneren Gegenwinkel zuſammen weniger als zwei Rechte betragen.

Ich ſtütze den Beweis dieſes Satzes auf den Grundſatz(b): Das Ganze iſt größer als jeder ſeiner Theile, welcher in anderer Form auch heißt: Das Größere kann nicht ganz innerhalb des Kleineren liegen, es muß irgendwo über das Letztere hinausragen.

Ir Beweis. Iſt(Fig. 15) ¾.N a, oder nach Grundſatz(a) 7=+ 5, ſo muß nach Grundſatz(b) ein Theil des groͤßeren Winkels(yn) außerhalb des kleineren liegen; da nun der Winkel 1 nicht über BD, in welchem ſein einer Schenkel(CD) liegt, hinausfallen kann, ſo muß er irgendwo nach B G hin über den kleineren Winkel a hinausragen, d. h. es muß der Schenkel CIl von 1 den Schenkel BG von a irgendwo durchſchneiden.

2r Beweis. Wenn BG von ClII nicht durchſchnitten würde, ſo müßte æ+.+ n= a, alſo das Ganze kleiner wie der eine ſeiner Theile ſein. Höchſtens könnte hier das Ganze einem ſeiner Theile gleich werden, wenn nämlich, was allerdings möglich iſt, ôn kleiner wie der kleinſte denkbare Winkel wäre, alſo bei der Ver⸗ gleichung der im Verhältniß zu ihm unendlich großen Winkel nicht berückſichtigt zu werden brauchte. Daß ön nicht negativ werden kann, weil 4 ein hohler Winkel iſt, braucht man den Schülern nicht zu ſagen.

Ir Beweis. Schiebt man, wie bei dem Grundſatze des letzten Schnitts(p. 24) die Linie BR, welche mit B0 den Winkel/=+ bildet, an der letzteren Linie ſo hin, daß ſie immer mit ſich ſelbſt parallel bleibt, ſo muß ſie in Lagen kommen wie MN, PO, in welchen ſie die B G durchſchneidet, und deßwegen muß= a++.;, &+‿ 1= a+ † 31,....+. p=«+.‿+ 5p, alſo auch= 6+. 3, 71= 5+.= 31,.... „p=+ p ſein. Nach dieſen Gleichungen müſſen, weil die Dreiecke d, d1,... op um ſo größer werden, je weiter die bewegte Linie ſich von ihrer urſprünglichen Lage entfernt, auch die aufeinanderfolgenden Winkel 7, T1,... 7p um ebenſoviel zunehmen. Kleiner aber wie ein vorhergehender kann ein folgender Winkel nie werden; denn ſelbſt im ungünſtigſten Falle, wenn nämlich die Größe der Dreiecke im Verhältniß zu der der Winkel nicht in Betracht kommen könnte, muß er wenigſtens ebenſo groß ſein wie jener. Alſo muß die bewegte Linie in jeder Entfernung von ihrer urſprünglichen Lage mit der BG einen Winkel bilden, welcher nicht kleiner ſein kann als 83 d. h. ſie muß die BG in jeder dieſer parallelen Lagen durchſchneiden.

4r Beweis. Man kann den Satz: Jede gerade Linie, welche durch einen Punkt im Inneren eines hohlen Winkels geht, ſchneidet wenigſtens den einen Schenkel des Winkels— auch vor die Sätze(5 und 9) über die Gegen⸗ und Wechſelwinkel, alſo auch vor die Hauptſätze ſtellen und ihn dort mit Hülfe unſeres Grundſatzes b etwa auf folgende Art beweiſen:

Die gerade Linie begränzt einen flachen Winkel, der, weil ſein Scheitel, der gegebene Punkt, innerhalb des hohlen Winkels liegt, auch zum Theil wenigſtens innerhalb deſſelben liegen muß. Da der flache Winkel aber größer iſt

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