Parameter sind für je eine Schaar confokaler Rotationsparaboloide und der Parameter für die sogenannten Meridianflächen ist. Das Rotationsparaboloid mit dem Parameter besitzt dann die Gl.:

9* 2*+ 4§˙½ᷣ— 4 ½= 0.

Uber die Entstehung dieser parabolischen Coordinaten möge Folgendes gesagt werden:

Man lasse zwei orthogonale Liniensysteme rotieren; es sei= æ;= r osa und ⸗æ᷑= r sinw; x und v seien die Orthogonalcoordinaten der Meridianebene des Rota- tionskörpers. Wir machen dann eine conforme Abbildung der Ebene(æ£ϑ τ) auf eine Ebene(k+ 1)) vermittelst einer ganzen Funktion zweiten Grades, d. h. wir setzen

æᷣir=(in'),

was unbeschadet der Allgemeinheit geschehen kann. Durch Sonderung des Reellen und Imaginären ergeben sich dann die Formeln:

*=—:„=— 45 ν+₰4 ⁵ „ 2 ½; r¹=— 4 1⁄1☚+ 4 7,

aus denen unmittelbar ersichtlich ist, dass den parallelen Geraden= const. und „= const. der Gegenstandsebene in der Bildebene je ein System von confocalen Para- beln entspricht, deren gemeinsamer Brennpunkt der Anfangspunkt der Coordinaten ist, und deren gemeinsame Axe mit der æ-Axe zusammenfällt; unter diesen Parabeln befindet sich auch diejenige, welche die Meridiankurve des vorliegenden Umdrehungsparaboloids darstellt. Jede Parabel des einen Systems schneidet jede des anderen Systems senkrecht; sämtliche Parabeln des Systems k haben ihren Scheitel auf der positiven Halfte der x-Axe in der Entfernung*, wöhrend die Scheitel aller Parabeln des Systems„ auf der negativen Hälfte der æ-Axe in der Entfernung liegen. Lässt man k von 0 bis+ G wachsen oder von 0 bis— co abnehmen, so erhält man der Reihe nach alle Parabeln der einen Schaar, anfangend von der mit der æ-Axe zusammenfallenden Parabel bis zu der im Unendlichen gelegenen.

Dasselbe gilt von der Schaar. Daher setzen wir fest, dass& und y nur positive Werte annehmen sollen, sodass sich jeder Punkt der Halbebene(z,+*) in vollständiger und eindeutiger Weise als Schnitt einer Halbparabel aus dem System E mit einer solchen aus dem System„ bestimmen lassen wird.

Für die Punkte der r Axe ist 8= v, positiven æ-Axe ist= 0,

„„„ negativen æ-Axe ist= 0 zu setzen.

2„

Wird nun die feste Meridianebene d. h. die Halbebene(æ,+r) um die æ-Axe gedreht, bis sie wieder ihre ursprüngliche Lage einnimmt, so erhält man zwei Systeme von orthogonalen Rotationsparaboloiden, das eine mit dem Parameter s, das andere mit dem Parameter„. Es stellt dann die dritte Coordinate w den Winkel dar, um welchen diese Halbebene gedreht werden muss, damit ein im Raum gegebener Punkt in dieselbe falle. Es geht daraus hervor, das jeder Punkt des Raums eindeutig durch die parabo-