— 46—

s. a†s. b. Aber s. a-†s. b ist gleich dem Produkt aus s in (a“ b), also ist(ad-- bc) gleich S.(a-+ b), w. 2. b. w.

62. Sind zwei Zahlen gegeben, so ist die dritte Potenz ihrer Summe um das dreifache Produkt der beiden Zahlen, multipliziert mit ihrer Summe, und um die dritte Potenz der zweiten Zahl grösser als die dritte Potenz der ersten Zahl. Die gegebenen Zahlen seien a und b, das Produkt a. b sei c, die dritte Potenz von a sei d, die dritte Potenz von(a-+ b) sei h, die dritte Potenz von b sei s. Behauptung: h ist um 3c(a-+† b) s grösser als d. Beweis:(a+ b), mit sich selbst multipliziert, ist gleich a* b?+ 2. a. b, also ist(a+ b)e gleich ae b⸗. 2c. Man multi- pliziere nun(a+† be+ 2c) mit(a-“ b), so enthält man h, weil (a+ b)s gleich h ist. Behauptung: h ist um[Sc(a+† b)+s] grösser als d. Das ist der Fall, denn, wenn man à* mit(a+ b) multi- pliziert, so erhält man das Produkt as². a, welches gleich d ist, vermehrt um das Produkt as b; und ebenso erhält man bei Multiplikation von be mit(a b) als Resultat das Produkt be. b, welches gleich s ist, vermehrt um b². a, also ist das Ergebnis der Multiplikation von(a²+ bz) mit ab die Summe[d-.s+ a?b ba] aber az. b b². a ist gleich dem Produkt aus(ab) und(a+ b), also ergibt(a²+ b²), multipliziert mit(a+ b), die Summe [ds c(a+ b)]. Aber e, multipliziert mit(a b), ergibt c.(a+ b) also ergibt 2c, multipliziert mit,(a+ b), 2c.(a+ b). Nun hatten wir als Resultat der Multiplikation von(a2- b²) mit(a+ b) die Summe[d+ s+ec.(a+ b)] erhalten, wenn man also[a² † b †2] mit(a b) multipliziert, so ist das Resultat gleich[ds+ 3c(a b)]. Aber[a4 be† 2c], mit(a+ b) multipliziert, ist gleich h, also ist h gleich ſ[ds 3c.(a† b)], also ist h um[3(a b)(a* b)+ s. grösser als d, w. Z. b. w. 2

Durch eben diesen Beweis ist nun schon bewiesen, dass die die dritte Potenz von(a-- b) gleich d-s 3a2b+ 3bea ist. Denn die dritte Potenz von(a† b) ist gleich dςαε‿(ar†b). Aber c(a†b) ist gleich der Summe der Produkte azb und bza, also ist 3c(a tb) gleich dem Dreifachen der Summe der Produkte aꝛb und bea, also ist die dritte Potenz von(a-b) gleich d.†s Za2b+ 3b2a. w. Z. b. w.