Lässt man die Fläche für= o und r= Vc+. a? gleich Null werden, wo dann 12= c2² cos 2¹ Vst, so ist v= 3e sin ⁶ cos don— c. ſ sin Hnde,+ a2 sin εdo—.... . 04( 2 in 2 d. i.„=( r)o. 2— 22) ein cos ‿ C 2 Sin 02 COs oh)ßN.....

ganz übereinstimmend mit aodi 7), jedoch nur anwendbar zwischen den Grenzen 2

—— 4„—. 1 a r= Wa²+. c? und r= VCl— a¹, oder auch zwischen= o und 0==2 Arc sin G

Lässt man dagegen die Fläche bei= o und zugleich r= Vc2— a2 gleich Null werden, wo dann 12— 2 cos 2⁰1 ist, so ergiebt sich ein Werth zwischen den Grenzen

4—— 1 a. r= VWC2— a? undr= ⁴— a¹, oder auch o und= 2 Arc sin 22 nämlich c

1= c.² ſ sin ⁴ do— 32 ſ sin cos do+ a2 sin 2 do . 4. C. — 2.— sin ⁴ cos νπ dao,—..... a2

das ist a2 e. 0². l? due)—(2— 8ae) sin cos—-(— 1222) sin ⁰3 cos ν 2 53 5 — 2 sin 005 COs 3 az· sin(3 cos έ—2...... Der Inhalt Jes ganzen Quadranten ergiebt sich durch Addition der Werthe für

4 1 22 u und vl, wenn sowohl als ul zwischen den Grenzen= o und 9=3 Arc sin— 0

genommen werden. Speciell für die Curve 2= 160(in Fig. 7 dargestellt) ist der obere

Grenzwerth von 2 610 30˙ 40“, also ß= 300 45 20“. Bei den Lemniskaten a=e ist stets kleiner als 459.

§. 7. Rotationskörper der Lemniskaten. Drehung um die X-Axe.

Es seien und 5 die Abscissen der Punkte P und P1,.. Denkt man sich diejenige Fläche, welche durch Gβ—«, die zugehörigen beiden Ordinaten, und den zwischen P und Pi liegenden Bogen der Curve begrenzt wird, um die Axe der x gedreht, so ist der Inhalt des entstehenden Körpers

6 Wee 2ſ Jedx. C

Zur Entwickelung dieses Ausdrucks könnte man sich auch hier wie im Vorher- gehenden der Polarcoordinaten bedienen. Wird der in§. 2 erwähnte Werth von yd= noch mit y= r sin multiplicirt, so ist

-⁊² sin 2 02 sin d dco

2dx= r13 ein de⸗ 2 2(2 cos 20⁰1— 212

Man würde zwei Fälle unterscheiden müssen, r 2=-² cos 2 ⁰1% 9%+ V a— cr sin 2 und —,—,„, 12= G(2² cos 20⁰0— V a4— ⁴ sin 2 ⁰2. Im ersten Fall wäre