dem ganzen Quadranten einen Sector abschneiden, welcher 1. des Quadranten ist, so hat

man nur nöthig, von dem gleichschenkligen Dreieck A0E(Fig. 5), welches= es=

2 = dem Quadranten ist, ein anderes ähnliches Dreieck OMN=AOE abzuschneiden

und dieses letztere in ein rechtwinkliches Dreieck OFP mit der Grundlinie OF zu ver- wandeln. In die Richtung der Kathete PO fällt dann der gesuchte Leitstrahl OC.

3) Beschreibt man(Fig. 6) über OD= 2c einen Halbkreis und zieht von einem beliebigen Punkte H der Peripherie durch den Mittelpunkt O bis zum zweiten Schnittpunkte mit der Lemniskate eine gerade Linie HCOP, so ist das Rechteck HO* HP der ganzen Fläche der Lemniskate gleich, also= b.(Crelle Journ. Bd. XIV. S. 88).

Beweis. HC= HD— r, HP= HO0+ r, also HC HP= HO2— 1². Da aber nach dem Vorhergehenden HOz2= bz+ re ist, so folgt die Richtigkeit der Behauptung. Es ist also auch DF. DG= bz.

4) Die Punkte D, F, A, G(Fig. 6) sind harmonische Punkte.

Beweis. Die Fläche bz’2= be ist sowohl dem Rechteck(2c— b)(b+ c) als auch dem Rechteck(2c+ b)(b— c) gleich. Es ist nun 2— b= DF, b+ c= AG, 2c+ b= DG, b— c= FA, also DF. AG= DG. FA, d. i. DF: FA= DG: AG, wie behauptet wurde.

§. 6. Die Quadratur der Lemniskate a= c.

Die allgemeine Gleichung 4) kann auch hier benutzt werden; jedoch sind zwei Fälle zu unterscheiden, jenachdem r2= c cos 2⅛, oder r²=*² cos 2, d. i. jenachdem 12= G2 cos 2 ⁰1+ V ad— † sin 2002, oder 12= G2 cos 2⁰— Wa4— cl sin 2⁰; denn die Curve besteht, wie Fig. 7 zeigt, aus zwei völlig von einander getrennten Theilen, und der Quadrant wird vom Radius Vector oder dessen Verlängerung in 2 Punkten durchschnitten. Demgemäss ist, der Gl. 6) entsprechend

do= ₰ c² sin ⁴ dc+ 3²2 cos ¾ν sin Gν d 2 ℳ sin ⁶² cos ν(cos z— sin ²) do VleC Sn J

wo in den ersten beiden Gliedern das obere oder untcre Zeichen zu nehmen ist, je-

+ sin ν Vad— l† sin 2 do+

nachdem r= c² cos 2⁰% und zugleich die Fläche für= o und r= VG2— a2 verschwin-

det, oder r==c cos 2 ¹% und die Fläche= o für= o und r= Vc2+ a2. Das Differen-

tial dv kann dann in ähnlicher Weise integrirt werden, wie bei den Lemniskaten a e; —— 2 gi 2

denn da V al— cs sin 2 2 einen reellen Werth hat, so muss Ser. 1 sein, und es

C4 sin 2 02 1-1.... kann also a 1—— e): nach dem binomischen Lehrsatz entwickelt werden.