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Die geforderten Identitäten bestehen also für den Wert a+1 in der Tat, wenn wir voraussetzen, dass die gefundenen allgemeinen Formeln richtig sind für die Werte 5,6,...a. Da sich nun die Richtigkeit der obigen Formeln für a=5 induktiv leicht nach- prüfen lässt, so gelten sie auch allgemein für alle Werte a>4.

Für alle Werte a>4 ist daher im System P(1,2,3...a") stets

B=4P, Be

2 folglich auch

pen Lk=h. Es besteht also dann kein Unterschied mehr zwischen den Permutationen mit und ohne Wiederholung, da ja bei lauter voneinander verschiedenen Elementen genau dieselben Beziehungen gelten, wie wir in der Einleitung gesehen haben.

Das eben behandelte System P(1,2,3,...a”) ist nur ein spezieller Fall des ganz allgemeinen Systems P(1*, 2!,3”,...a‘); wir können also vermuten, dass sich auch bei diesem allgemeinen System die Verhältnisse denen bei lauter verschiedenen Elementen umso mehr nähern, je grösser die Anzahl a der im System vorhandenen Elementsorten ist. In dieser Vermutung wird man noch bestärkt durch die Resultate der folgenden Beispiele, zu denen man auf induktivem Wege unschwer gelangt:

1. P,(1,2,3,4%,59)=Pı= 1680, 1,{1,2,3,4%,5)-L= 20160

2. P;(1,2,3,4,5°,6?)=Pı—=15120, 1,(1,2,3,4,5°?,6°)=L,—= 241920

3. Pz(1, 2,3,4°,5°,6°)=Pu—=175600, 1.(1,2,3,42,5°,6°)=1= 1512000.

Für den Fall, dass B=5 P, L=31, muss, wie wir oben gesehen haben, zwischen den I; und P, stets die Beziehung bestehen

a Wir haben aber früher schon gefunden(vgl. S. 12), dass diese einfache Beziehung der I; und P, auch existieren kann, wenn P;= Pr und Lee 1: ist:

Für diesen Fall will ich noch zwei Beispiele anführen, bei denen vier verschiedene Elementsorten vorkommen, und für die ich die angegebenen Werte ebenfalls durch In- duktion bestimmt habe:

1,.p(1,223%2,4°) he>= 18,

P,= 318 l,= 2862

Pı= 312 I.= 2808. 2. P(1?,22,32,4°), wofür in= 24.

P,= 1284 I,= 15408

Pu= 1236 Iı=14832,