6 Sätze, worauf diese Beziehungen beruhen, nach Form und Inhalt völlig elementar sind, so ist kein Grund vorhanden, sich die Vorteile dieser abkürzenden Rechnungen entgehen zu lassen. Uberdies bieten diese Saâtze ein nicht geringes historisches Interesse, insbesondere für die Entwickelung der Logarithmik. Denn die Systeme von Bürgi, Briggs und Napier nehmen sämtlich ihren Ausgangspunkt gerade an dieser Stelle, wo die Grenzen der Ope- rationen in einander flieſsen. Durch gewoöhnliche Division ergiebt sich: = 1— x+ X— X P+.. Bedeutet nun x eine sehr kleine Gröfse(etwa 0,0001 oder 0,0002), so darf man setzen, wenn nur eine siebenstellige Genauigkeit erreicht werden soll: 1 1+r Denn offenbar äufsern die höheren Potenzen von x ihren Einfluſs erst auf der 8. Dezimale. Daraus folgt der

1— X.

erste Hilfssatz:

indem man x von der Einheit subtrahiert, voraus- gesetzt, daſs x einen hinreichend kleinen, nach dem Grade der verlangten Genauigkeit zu beurteilenden Wert darstellt. 3 Bezeichnet ferner y eine kleine Grôfse von mindestens gleicher Ordnung wie x, so folgt aus der Gleichung: (1+† v(1+ y)= 1+x+y(+ dem verschwindenden Gliede xy)

Man findet den Quotienten

der.. zweite Hilfssatz:

Zwei, von der Einheit nur wenig verschiedene Gröſsen werden multipliziert, indem man die Uberschüsse über die Einheit addiert(und diese selbst zur Einheit hinzu- fügt). Unter der gleichen Voraussetzung und mit Zuziehung des ersten Hiilfssatzes

1 — gZ=O 1— 2 H 4: (») erhält man die Le X z

und damit den dritten Hilfssatz: Zowei, von der Einheit wenig abweichende Gröſsen werden dividiert, indem man den Uberschufs im Nenner vom Überschusse im Zahler subtrahiert. Endlich besteht bei der nämlichen Voraussetzung noch die Gleichung:

VI X= 1+ ½ x, denn(1+ ½ x)*= 1+ x G verschw. 4) Demnach lautet der vierte Hilfssatz: Aus einer die Einheit nur wenig übersteigenden Zahl wird die Quadratwurzel ge- zogen, indem man die Hälfte des Uberschusses zur Einheit addiert— ein Satz, der sich leicht auch auf höhere Wurzeln erweitern läſst.