Zur analytischen Behandlung der sphärischen Kegelschnitte.

Einleitun g.

§. 1. Sphärische Coordinatensysteme. I. Axencoordinaten.

Als Axen werden zwei feste Hauptkreise der Kugel genommen, welche sich unter einem Winkel„ schneiden] mögen; einer ihrer Durchschnittspunkte ist der Coordinatenanfang O. Der Aequator dieses Punktes soll die Cardinale und deren Durchschnittspunkte mit den Axen sollen die positiven, resp. negativen Cardinalpunkte+ X,+ X genannt werden, welche Punkte also von O um eine Bogenlänge von 90 entfernt sind. Um nun die Lage eines Punktes M zu bestimmen, lege man durch ihn und die Cardinalpunkte X und F die Hauptkreise M X und M T; dieselben schneiden auf den festen Axen OX und 0 T die Bogenstücke OP=x und 00= 9 ab. Bildet nun der Hauptkreis durch die Punkte O und M mit den Axen die Winkel MOoX=« und MO T= S und bezeichnet man die Bogenlänge OM mit 2, so verhalten sich die Grössen tga, igy, ige wie die Seiten eines ebenen Dreiecks mit den entsprechenden Winkeln β, α, 180°—„; so dass die Proportion gilt:

sin 8 ⁰ ε= 3in a(u)*) tg 2 tgæ tg 9 und für»=+ H= 90° die Gleichungen: tgæ= Ige. cos a, tgy= tge sin œ(2)

In Rücksicht auf die durch diese Gleichungen begründete grosse Einfachheit sollen nun die trigonometrischen Tangenten der auf den Axen abgeschnittenen Bogenstücke O und 00, also igæ und tgy die Coordinaten des Punktes M sein, die kurz mit x und„ bezeichnet werden mögen. Ein Punkt(a, b) hat also die Coordinaten

x= lga, N=Igb.(3) Ebenso soll der Radiusvector 2= tg(O M) sein und allgemein soll, zur Erleichterung der Ausdrucks- weise und besonders, um die Aehnlichkeit der sphärischen Kegelschnitte mit den ebenen deutlicher hervortreten zu lassen, m nicht gleich sein der wirklichen Länge eines Bogens, sondern der trigono- metrischen Tangente desselben.

Daraus folgen die Gleichungen:

sin v sin Sin 2 a 7 4 22= a2+. 2 † 2%„ 9) und für„= 90, 22= †. 9.

II. Polarcoordinaten.

Die Bestimmung der Lage eines Punktes M durch Polarcoordinaten geschieht durch: 0= der Tangente der sphärischen Entfernung des Punktes M von einem festen Punkte 0, dem Pole, 3 und O= dem Winkel zwischen dem Hauptkreise OM und einem fetsen Hauptkreise 0 X.

*) Siehe Grundriss der analytischen Sphärik von Gudermann, Köln 1830.§. 4. 1