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c.) Die Hyperbel der offenen Schleife(Fig. 9, 10, 11 u. 12.) hat

4.. 24 2 9.. 2 4⁴„ A²„1 die Gleichung:(*+„*)—— a(a †.„)+

2— — A a— al a 7=0

7 a 92²) oder bei der vorigen Bedeutung von mn,„ und p: (E*—†᷑ y— m r(x † p) n*—„ 9= 9.

Die Polargleichung„= 0 und„— m cos+(+„) ⁰05*„= Oo. Die Curven zerfallen in spitzwinkelige, rechtwinkelige nnd stumpfwinkelige, je nachdem der Winkel, nnter welchem die Berührenden in dem Doppelpunkte einander schneiden spitz, recht oder stumpf ist; jede derselben zerfällt aber wieder in eine solche, bei welcher die Hauptaxe grösser als die Nebenaxe, in eine solche, bei welcher dieselbe ebenso gross und in eine solche, bei welcher die Hauptaxe kleiner als die Nebenaxe ist, je nachdem der Mittelpunkt des zu Grunde gelegten Kreises zwischen dem Scheitel und dem Brenn- punkt, auf dem Brennpunkt, oder über den Brennpunkt hinaus fällt.(Unter der Haupt- axe wollen wir das Stück der zæ-Axe, unter der Nebenaxe das Stück der Y-Axe verstehen, welches die Curve, die nur symetrisch zur g-Ax liegt, auf denselben abgegrenzt. Die Curyve ist eine geschlossene und ist eigentlich eine ungleichseitige Schleife zu nennen, deren kleinere Schlinge von uer grossen umschlossen wird. Die Curve hat im Coordinaten- anfange einen Doppelpunkt und schneidet die æ-Axe ausserdem auf der positiven Seite

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. 22 92 1— in den Entfernungen und e=, während die„Axe in den Entfer- a— a a-: 2 2— ₰„ 3 nungen=+ geschnitten wird. Die Curve hat für zwei positive verschie- Vaa

dene æ jedesmal ein Maximum und ein Minimun, der„ von der Beschaffenheit, dass die Maxima und Minima, welche zu demselben x gehören, jedesmal absolut genommen, einander gleich

sind und einer und derselben Schlinge angehören. Die Werthe.+— sind

7,2 2 Maxima der x; nur ist für a=(wo' die bekannte Excentricität der Hyperbel

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ist) der Werth=+— ein Minimum. In diesem Falle biegt die Curve da, wo

die grössere Schlinge die æ-Axe schneidet etwas ein und besitzt in der Nähe dieses Mi- nimums der x, symetrisch zur Abscissenaxe gelegen, zwei Wendepunkte, welche in den anderen Fällen aber fehlen. Die Curve hat zwei Scheitel der æ und vier der 9, Was mit den genannten Maximas und Minimas übereinstimmt. Die Curyve ist mit Ausnahme des Falles, bei welchem zwei Wendepunkte vorhanden sind, durchaus hohl gegen die