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rührende Gerade, die„-Axe, übergehen(die stumpfwinkeligste offene Schleife); das erstere findet statt, wenn b= 0, also n= OO, das andere wenn 5= OO, also ĩ= 0 ist.

Denkt man sich die Hyperbel so verändert, dass der eine Scheitel immer an seiner Stelle bleibt, dass aber der Mittelpunkt und der andere Scheitel stets wegrücken, dass also a wächst, so zieht sich die Schlinge der Schleife immer mehr zusammen; fällt der Sanze eine Ast der Hyperbel für a= OO ins Unendliche, wird also der andere Ast zur Parabel, so geht die Schlinge in einen Punkt und die offene Schleife in eine Cissoide über, wie auch die Gleichung ausweist.

c. Die Ellipse und Hyperbel der offenen Schleife.

Fällt der Mittelpunkt des zu Grunde gelegten Kreises irgendwo auf die Hauptaxe der Hyperbei, so erhält die Gleichung der zugeordneten Schleife folgende Gestalt:

2 1 3 r¹ 4

42+ 9*)“— æ(+„)+%— s üö= 9. 9 à.*— a2 a(E 9)— au 4 bn(a— 9) 9

Es kann hierin positiv oder negativ sein. Ist letzteres der Fall, so geht die Gleichung über in:

2 2 2— 2 3 GE, JntEr e rs)t eee, eſen=.

Dieselbe Aenderung hätte stattgefunden, wenn wir æ mit— æ vertauscht haben würden. Die Curve kann daher im zweiten Falle nur durch ihre Lage gegen die-Axe verschieden sein; und zwar muss ihre jetzige Lage zu derselben im Vergleich zu der vorigen symetrisch sein. Daher brauche ich nur die erste Gleichung, worin also α po- sitiv ist, zu betrachten; also:

1 2 d 24 21 9* 24 2„,2 9 ² 2 1 2 2 8) e eeer( f)— 4*—= 0. (æν‿ 9) e) 39

Hier kommt es wieder darauf an, ob« kleiner, gleich oder grösser ist als a. Im letzteren Falle behält die Gleichung ihre bisherige Form, im mittleren geht sie in die Gleichung der offenen Schleife über, im ersteren dagegen wird sie zu:

2— 22 14 n a*„

a— X(a“)—————,——=- O. G t, hnates er e lan ie hhereeefn ſanei EeSe na Vergleichen wir 5 Gleichung mit der vorhergehenden und mit derjenigen der offenen Schleife, so erhält man: 1) für«=a: 2 2 2 2 71 2.„„2 2 6G vy+ eue„)—,

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„ + a 91— 4