Non den periodiſchen Decimalbrüchen finden ſich in den gebräuchlichen Lehrbüchern der Arithmetik nur diekerſten allgemeinſten Lehren. Der ſtrebſame Schüler, ſo wie auch mancher gebildete Laie, der an mathematiſchen Speculationen Gefallen findet, iſt daher für ſein weiteres Selbſtſtudium in einiger Verlegenheit. Schwerlich wird er wohl zu den Originalwerken, wie Gauß: disquisitiones arithmeticae, greifen, aber ſelbſt leichtere Schriften wie etwa Nagel: Theorie der periodiſchen Decimalbrüche, dürſten ihm noch nicht mundgerecht genug ſein.— Ich verſuche daher im Folgenden, die Eigenthümlichkeiten der periodiſchen Decimalbrüche für den Nichtmathematiker und den gereifteren Schüler in einer Weiſe darzuſtellen, daß zu ihrer Begründung keine Vorkenntniſſe nöthig ſind, als die Lehre von den gemeinen Brüchen und den erſten einfachſten Begriffen der Gleichungen.— Die 88§ 20 ſowie 27 bis 32 kann der weniger geübte Leſer zuerſt übergehn.
Verwandlung geneiner HZrüche in Derimalbrüche. Geſchloſſene und periodiſche Derimalbrüche.
§. 1.
Bei der Verwandlung gemeiner Brüche in Decimalbrüche— wobei bekanntlich der Nenner in den Zähler, nachdem dieſem Nullen angehängt ſind, einfach dividirt wird— bieten ſich uns drei zu unterſcheidende Fälle dar: 4
1) die Diviſion geht nach Anhängung von mehr oder weniger Nullen auf, der Decimalbruch wird „geſchloſſen“, z. B. bei 3.= 0,375;
2) die Diviſion geht, auch nach Anhängung von noch ſo viel Nullen, nie auf; es kehren von irgend einer Stelle der Rechnung an die Reſte, und nachdem dieſen eine Null angehängt worden, alſo die Zahlen, in welche dividirt wird, und ſomit auch die Ziffern des Quotienten in derſelben Reihenfolge wieder,— es entſteht eine„Periode“.
Dieſe Periode beginnt nun entweder
a) gleich nach dem Komma— reinperiodiſche Decimalbrüche, z. B. bei 4= 0,142857 142857.(Periode— 142857);
b) es gehen nach dem Komma vor der Periode erſt einige nicht zur Periode gehörige Ziffern,
die Vorperiode, voraus; unrein periodiſche Decimalbrüche, z. B. bei 5—- 0, 41 66 6....
(Vorperiode 41; Periode 6.) 1