Beiträge zur Lehre von dem geradlinigen Dreieck.

. 1. Gegenstand der Abhandlung.

Bei der Betrachtung des geradlinigen Dreiecks begegnen wir vielfach Grössen welche dreifach in demselben vorhanden sind. Dahin gehören z B. die drei Seiten, die drei Höhen, die drei Halbmesser der angeschriebenen Kreise, ferner die drei Winkel und ihre verschiedenen trigonometrischen Functionen, desgleichen die ver- schiedenen trigonometrischen Functionen der halben(und doppelten) Winkel, sowie die Quadrate u. s. w. aller eben genannten Grössen. Aber es gibt auch Dreiecksstücke, welche nur einmal vorkommen. Zu diesen gehört der Halbmesser des umschriebenen Kreises, der Halbmesser des eingeschriebenen Kreises, der Flächeninhbalt, ferner alle symmetrischen Verbindungen der dreifach vorhandenen Stücke, also namentlich die Summe derselben, das Product derselben, die Summe von den Producten je zweier. Diese Abhandlung stellt sich die Aufgabe, eine Zusammenstellung von Formeln zu liefern, vermittelst welcher die oeben angeführten einfachsten symmetrischen Verbindungen der wichtigsten dreifach vorhan- denen Stücke des geradlinigen Dreiecks aus dem Halbmesserr des umschriebenen Kreises, dem Halbmesser e des eingeschriebenen Kreises und dem halben Umfanges gefunden werden können. Dass unter diese Elemente der halbe Umfang aufgenommen worden ist und nicht etwa der ganze Umfang oder der Fläücheninhalt oder die Quadratwurzel aus letzterem, hat ledig- lich in der grösseren Einfachheit, welche hierdurch den aufzustellenden Formeln zu Theil wird, seinen Grund. Uebrigens bedarf es auch nur sehr unbedeutender Um- wandlungen, wenn man statt s ein anderes Element einführen will.

2. Der einzuschlagende Weg.

Wir werden unsere Aufgabe dadurch lösen, dass wir reducirte Gleichungen des dritten Grades, deren Wurzeln die betreffenden dreifach vorkommenden Dreiecksstücke 1