Fünfzig Aufgaben

über das geradlinige Dreieck trigonometrisch gelöst von

Dr. E. W. Grebe.

Wir bezeichnen die drei Seiten eines geradlinigen Dreiecks mit a, 5, c, die halbe Summe derselben mit s, die den entsprechend benannten Seiten gegenüberliegenden Winkel mit 4A, B, C, den Flächeninhalt mit F, die Halbmesser des umschriebenen, des einbeschrie- benen und der anbeschriebenen Kreise der Reihe nach mit 7, 0, O., O*, Oc, so dass bei den zuletzt erwähnten Halbmessern die von Aussen berührte Seite den Index abgibt.

Die nachstehend gelösten Aufgaben enthalten unter den gegebenen Stücken mindestens einen der hier genannten Halbmesser, von Winkeln nur entweder den Winkel 4 oder die Differenz B— C, wobei B stets einen grösseren Winkel als C bedeuten möge, sodann aber auch a, 5b+ c, 5— c, F, s und die Differenzen, welche s mit einzelnen Seiten bildet. Diese letzten Differenzen sind bekanntlich die Abschnitte, in welche die Dreieckseiten in den Berührungspunkten sowohl mit dem einbeschriebenen als mit den anbeschriebenen Kreisen zerfallen.

Ausser den gewöhnlichen goniometrischen setzen wir auch die nachstehenden trigono- metrischen Formeln als bewiesen voraus:

1 5 c 11 sin A Sinß in C'

(b+ c) sin ½4.(b5— c) os ½ 4. cos ½(B— C)* sin ⅓(— C)*

— e tang ½(B— 0) 1(&= b) GZ)— 51—, a sinB sinC. 141— cot ½ 4 3 lol tang 24= 2 8(.— a) 101 2 sin 4* 1

[21 4— l3l a—