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nisse doppelte Argumente(oben und unten) und hält dann die Regel fest, die Zahlen der dritten Columne nie kleiner zu nehmen, als die der ersten. In der ersten Columne setzt man erst so oft es möglich ist t, dann so oſt es möglich ist 2, u. sqw. Nennen wir die Zahlen der drei ersten Columgen eimmal bezüglich a, b und c, so muss, wenn nur reinperiodische Kettenbrüche entstehen sollen, stets b= d— a genommen werden;

d 1 b d denn unter dieser Voraussetzung muss nicht allein—, sondern auch— min-

destens= 1 sein, also c= b † u. Da nun b² 4. ac= di, so ist auch bi+ a(b+ d)—½ d:. Hieraus ergibt sich, wenn man ¼ aa— ad addirt, Pe+ ab+ ½ a: = d— ad+ ½¼ au¹ und hieraus duroh Wurzelausziehung und Subtraction von ½ a das zu Beweisende. Das mitgetheilte Verzeichniss lässt daher auf a= 1 nur b= 10, dagegen auf a= 2 die beiden Werthe b-= 9 und b= 10, u. s. w. folgen. Bei hohen Werthen von a wird auch das Product ac ansehnlich und gestattet dann nicht mehr die höchsten Werthe von blä- Endlich hat man alle die Zus sammenstellungen von A, Bo und A- zu übergehen, welche einen gemeinschaftlichen Factor haben würden, weil die Gleichung sich alsdann durch diesen vereinfachen liesse. Hat manusich nun derartige Verzeichnisse, von denen jedes vorhergehende die Aufstellung des zunächstnachfol- genden sehr erleichtert, entworfen; so löst man zuvörderst alle die Gleichungen darch Täfelchen auf, für welche a= 1 ist. Diese werden, da sie alle ein verschiedenes D haben, sämmtlich zu verschiedenen Perioden führen. Aber jeder erhaltenen ngliede- rigen Periode gehören nochen— 1 andere Gleichungen des Verzeichnisses an. Diese werden sämmtlich angestrichen, und zwar, wenn das Argument oben stand, vorn, wenn es unten stand, b n⸗ wenn a mit c einerlei Zahl ist, a an beiden Stellen. Dann fährt

hat, ob dieselho nicht etwa durch eine 8— aellele schon mit wegge fallen ist. Sind alle Gleichungen aufgelöst, so kann man nun das Ganze nach, den Irrationalzahlen D anordnen. Auf diese Weise ist die nun folgende Zusammenstellung entstanden, welcher noch folgende Erläuterungen vorauszuschicken sind. Die lerationaleahlen D sind, um sie als solche kenntlich zu machen, mit dem Wurzelzeichen versehen worden. Die römischen Ziffern deuten die Gliederzahl der Periode an. Einseitige Perioden sind mit E, symmetrische mit S, Doppelperioden mit D bezeichnet. Die ersten sind immer zunãchst so auſgefhr worden, dass die grösste Zahl hinten hin zu stehen kam, die letzten, wenn es môglich war, in zwei symmetrische von gleich vielen liedern, und wenn dieses nicht möglich war, in zwei symmetrische, deren letztere zwel Glieder weniger als die erstere hatte, zerlegt worden. Um die zu einer aufgeführten Gleichung gehörenden periodischen Kettenbrüche zu finden, betrachte man das vor der Gleichung stehende Glied der Periode als“ das erste, und lasse sich an dieses die darunter stehenden in der auſgeführten Reihenfolge anschliessen, so dass auf das untersté Glied wieder das obersie folgt. Man hat dann den Positiven Wurzelwerth der Gleichung. Der negative

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