— 13—

der Periode, oder nach der Zahl der periodischen Glieder zusammenstellen; doch überzeugt man sich bald, dass eine Tabelle, welche eine solche Zusammenstellung enthielté, nach mehrerdn Seiten hin unbegrenzt sein würde. Ordnéet man nach den Glei- chungen, so kann entweder der höchste unter Ao, Bo und A- vorkommende Werth oder die Zahl D als Leitfaden dienen. In beiden Fällen wird die anzulegende Tabelle nur nach einer Seite hin unbegrenzt, und das Ordnen nach D empfiehlt zich insbeson- dere noch durch die Einfachheit des Princips. Wollen wir quadratische Gleichungen mit den sie auflösenden, periodischen Kettenbrüchen zusammenstellen, soswerden wir nur von solchen reden, bei denen die Periode gleich mit dem ersten Gliede anhebt; denn es, wird keine Schwierigkeit haben, eine gegebene Gleichung mit rein periodischer Auflösung in eine andere, die vor derselben Periode noch beliebig viele gegebene nichtperiodische Anfangsglieder hat, zu transformiren; und umgekehrt wird man die Auflösung einer Gleichung der pletzten Art durch den Mechapismus der obigen Täfel- chen bald auf die Auflösung einer Gleichung mit reiner Periode reduciren. Es wurde bereits angedeutet und durch ein Beispiel erläutert, dass zu einer ngliederigen Periode, je nachdem man den Anfangspunct verlegt, n verschiedene quadratische Gleichungen gehören, Für alle diese Gleichungen ist D dieselbe Zahl. Man kann daher fragen, ob auch der umgekehrte Satz wahr sei, dass nämlich sämmtliche Gleichungen, für welche D dieselbe Zahl ist, bei der Auflösung einer einzigen zugleich mit erhalten werden. Die Erfahrung verneint diesen Satz, indem sie lehrt, dass zu derselben Zahl D mehrere verschieqeng Perioden gehören können. Zu jeder Irrationalzahl D aber gehört weuigstens eine Periode, nämlich die, durch welche, wenn man derselben noch d als nichtperiodisches Anfangsglied vorsetzt, die reine Gleichung x*— D= F aufgelöst wird, und in welcher daher auch immer 2d als höchstes Glied der Periode vorkommen muss. Die Aufgabe nun, alle Gleichungen und somit alle Perioden, welche zu einem gewissen D. gehören, vollständig aufzufinden, wird am besten, im Grossen gelöst. Man entwirft sich Verzeichnisse aller möglichen Werthe von- Ao, Bo, A= und der zuge- hörigen Werthe von D, für welche sich rein periodische Kettenbrüche ergeben müssen, und bei welchen D Iwisohen denselben zwei benachbarten vollständigen Quadratzahlen liegt, bei welchen also d eine unveränderliche Zahl ist. Das hier aufgeführte Ver- zeichniss der Art, an welches als ein Beispiel die weitern Bemerkungen üher die Con- siruetion eines soichen angeknüpft werden zollen, gilt für d= 10.

1