Ueber Kettenbrüche höherer Ordnung.

Von E. Fürstenau.

Bei der Verwandlung der irrationalen Wurzel einer Gleichung in einen Kettenbruch ergeben sich bekanntlich nur dann periodisch wiederkehrende Nenner, wenn die Gleichung vom 2. Grade ist. Diese Periodicität tritt aber auch für die Wurzeln von Gleichungen höherer Grade ein, sobald man eine allgemeinere Form zu Grunde legt, von welcher der Kettenbruch nur ein bestimmter Fall ist, und welche man erkennt, wenn man denselben als Quotienten zweier Determinanten darstellt, also:

3- 1 1= aa 1 O..— 21 1 —1 21 1.— 1 az.

—9

setzt. Besetzt man nämlich in der im Zähler stehenden Determinante eine oder mehrere über der Diagonalreihe liegende, dieser parallele Reihen mit Elementen bi, ba,.. Ccax, cz..., dz, da... Worauf man dann noch eine mit Einheiten besetzte Reihe folgen lässt, während der Nenner gleich dem Coefficienten des ersten Elementes dieser Determinante ist, so erhält man einen Quotienten, den man nach der Zahl der mit a, b, c.. besetzten Reihen einen Kettenbruch 2., 3.... Ordnung nennen kann, da er mannigfache Verwandschaft mit den gewöhnlichen, den Kettenbrüchen 1. Ordnung zeigt. Während bei den letzteren jedem

— hinzugefügt wird, ist bei den ersteren jedem Nenner an ein Bruch

Nenner an ein Bruch an+ 1

—, jedem Zähler da. ein Bruch— 1e„ jedem Zähler ca+ 2 ein Bruch-— An+ 1 n+ 2 an+ 3 jedem Zähler endlich, welcher in der lerzuen Reihe unter der Reihe der 1 steht, der Bruch

U. S. f.

hinzuzufügen. Ebenso ist die Berechnung der Näherungswerthe bei allen diesen m S p

Kettenbrüchen im Prinzip dieselbe, wie bei denen 1. Ordnung, nur werden Zähler und Nenner

eines Kettenbruches kter Ordnung aus den k+ 1 vorausgehenden Zählern und Nennern berechnet.

In dem Folgenden theile ich die Untersuchungen mit, die ich auf Grund dieser Be-

trachtungen angestellt habe und bemerke noch, dass von anderen Gesichtspunkten ausgehend

Jacobi denselben Gegenstand in zwei Aufsätzen behandelt hat, welche von Herrn E. Heine in Crelle LXIX,I aus dem Nachlass des grossen Mathematikers mitgetheilt sind. 1