Uber die erſte Graßmann'ſche Erzengungsweiſe der ebenen Kurven 3. Ordnung und deren Analogon im Raume

von Gymnaſiallehrer Heinrich Fritz.

Erſter Teil. Die erſte Graßmann'ſche Erzeugungsweiſe der ebenen Kurven 3. Ordnung.

4A. Der Punktort.

I. In der elementaren Geometrie wird der Lehrſatz bewieſen:

Fällt man von einem Punkte des einem Dreieck umbeſchriebenen Kreiſes die Senkrechten auf die Seiten dieſes Dreiecks, ſo liegen die Fußpunkte derſelben in einer Geraden.

Dieſe Eigenſchaft war Ausgangspunkt für eine Arbeit von Steiner(Crelle's Journal für Mathe⸗ matik Bd. 53), die eine große Zahl von intereſſanten Eigenſchaften desjenigen Ortes enthält, den die Gerade der drei Fußpunkte beſchreibt, wenn der Punkt den ganzen Kreis durchläuft. Man kann ſich aber auch die andere Frage ſtellen:

Welches iſt der Ort des Punktes, deſſen Normalprojektionen auf die Seiten eines Dreiecks in einer Geraden liegen?

In dieſer Faſſung ſoll aber dieſe Frage jetzt nicht beantwortet werden, weil ſie ein ſpecieller Fall einer allgemeineren iſt, der wir ſogleich näher treten. Anſtatt nämlich zu verlangen, von dem Punkte x die Senkrechten auf die eine Seite des Dreiecks zu fällen, kann man auch die Forderung ſtellen, den Punkt X mit dem unendlich fernen Punkt dieſer Senkrechten zu verbinden, und wenn man dieſen unendlich fernen Punkt und mit dieſem die beiden andern ins Endliche rückt, ſo entſteht das allgemeine Problem:

Welches iſt der Ort des Punktes, deſſen gerade Verbindungslinien mit drei feſten Punkten drei feſte Geraden in drei Punkten einer Geraden ſchneidet?

Dieſe Frage iſt zuerſt von Graßmann(Crelle's Journal Bd. 31) aufgeworfen und ſo von ihm be⸗

antwortet worden:

Wenn drei von einem beweglichen Punkte x ausgehende Strahlen ſich um feſte Punkte drehen und dabei drei feſte Geraden ſo ſchneiden, daß die Schnittpunkte in einer beweglichen Geraden liegen, ſo beſchreibt der bewegliche Punkt x eine Kurve 3. Ordnung und die bewegliche Gerade umhüllt eine Kurve 3. Klaſſe.

Daß man auf dieſe Weiſe die allgemeine Kurve 3. Ordnung erhält, hat Graßmann im 53. Bd. des angeführten Journals bewieſen. Er giebt außerdem im 31. Bd. noch zwei weitere Erzeugungsweiſen der Kurven 3. Ordnung, die man als zweite und dritte von der eben angegebenen unterſcheiden kann.

II. Um die Gleichung des Punktortes zu erhalten, ſeien a, b, e die drei feſten Punkte, deren Koordinaten bezüglich ſein mögen

a1, a2, as; bi, be, ba; ci, cz, ca; ferner ſeien 1 dH. XI 2 X. ℳ. 33 X 0 Br= Bi XI+ Se X. † Ss X 0 Ix=i XI H 72 Xz+ 73 XS 0 1*