andern Seite liegenden ed a entweder parallel, oder convergent, ferner aber auch von den beiden ihr auf entgegengeſetzten Seiten liegenden die eine, cd, der andern, ab, entweder 7 parallel oder d convergent angenommen werden koönnte. In dieſen vier Fallen wird aber auch alles begriffen ſein, was als zweite Bedingung zu jener erſten hinzutreten könnte.

5. Was ſich nun für jeden dieſer vier Falle ergeben wird, bleibt dem Fol⸗ genden darzuthun vorbehalten. Hier ſoll nur das Eine noch bemerkt werden, daß, wofern wir von den beiden Parallelen, ab und ef, die eine oder andre unbegrenzt fortgezogen denken, die dritte ed aber derſelben convergent, dieſe gehörig verlaͤn⸗ gert auf die andere Seite der erſten mit dieſer Verlängerung fallen werde, und alſo in Beziehung auf dieſen Theil derſelben ein Wechſel in der gegenſeitigen Lage erfolgen könne.

Anmerkung. Setzt man zwei Gerade von der dritten durchſchnitten, ſo laͤßt ſich aus der gleichen Neigung der beiden erſten gegen die letzte ihr Parallelismus nachweiſen, aber keineswegs aus der ungleichen Neigung ihre Convergenz. Dagegen läßt ſich aus der Convergenz der durch⸗ ſchnittenen ihre ungleiche Neigung gegen die durchſchneidende darthun, aber wiederum nicht aus dem Parallelismus der erſten ihre gleiche Neigung zur gemeinſchaftlichen Convergente. Da es alſo mit zweien dieſer vier Saͤtze auf dieſem Wege nicht gehen wollte, ſo mußte man einen der beiden widerſtrebenden als zugegeben poſtuliren. Euklid waͤhlte dazu den erſten. Gewaͤhrt aber dieſer Weg keinen bequemen Fortgang, ſo verſuche man einmal ihn umzukehren, d. h. anſtatt zu ſetzen, die dritte ſei den beiden andern zugleich convergent, nach dem Geſetze der Dis⸗ junction anzunehmen, ſie ſei nicht beiden zugleich convergent, ſondern der einen parallel, um nachzuſehen, ob man nicht einen beſſern Fortgang gewinne. Bei dieſer Vorausſetzung kann aber nicht mehr von gleichen oder ungleichen Winkeln die Rede ſeyn; mithin muß auf andere Weiſe ein zweiter Theil der Hypotheſis, der nach dem Geſetze erſchoͤpfender Disjunction be⸗ ſtimmt wird, aufgeſucht werden.

§. 9. Corollarien.

1. Liegen zwei Gerade, ab und cd, Fig. 1, auf den entgegengeſetzten Seiten der dritten ef, und zwar der im Vorhergehenden aufgeſtellten Bedingung gemäß, die eine ab der ef parallel, ſo fällt zwiſchen ab und ed ein Theil der Ebene, ein parallel begrenzter, wenn ſie einander parallel ſind, ein Winkel, wenn ſie verläͤn⸗