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Diese Gleichungen stellen zwei Hyperbeln dar, die sich in zwei realen Punkten, den Brennpunkten des Kegelschnittes des Büschels, und in zwei imaginären Punkten schneiden.

2. Transformiert man die Gleichung der ersten Hyperbel auf die Koordinaten x, y und eliminiert zwischen ihr und uy— az+ au= 0 die Grösse u, so erhält man die Gleichung einer Fläche im ursprünglichen Koordinatensystem:

(d?(+ a)2— r2z) X2— 12(d(+ a)— 2z)²+ 2(dzy²— 1²22+ adzy+ 12dz) cos Xz. Xz —(dey²— 12(2z— 1'ſ(22 c0s 2 Xz—(G+ a)2+ 22+ 2(y+ a) 2 cos v2])= 0O.

Die gesamten Brennpunktshyperbeln der ersten Art, die dem Kegelschnittbüschel angehören, bilden diese Fläche 4. Ordnung. Jede Ebene des Büschels schneidet sie in einer Hyperbel der I. Art.

Ebenso findet man aus der Gleichung der Hyperbel II. Art die Fläche des Büschels von Hyperbeln der Brennpunkte.

(dey— 12(z— d)*) Cos XZ. Z+(dzy²2— r2²22+ ad²y+ 12dz) X= 0.

Die Hyperbeln II. Art liegen somit auf einer Fläche 3. Ordnung.

3. Da die Brennpunkte des Kegelschnittbüschels sowohl der Fläche 3. Ordnung als auch der Fläche 4. Ordnung angehören, so ist ihr Ort die Schnittlinie beider Flächen und durch das System bestimmt:

(dey²— r2(2.— d)*) cosXz. z+(d²y²— r22²2+f ady.+ 12dz) X= 0,

(d2(X+ a)?— r²zne) X2— r2(d(y+ a)— az)2+ 2(dzy²— r²22+ adzy+ r2dz) cos XZ. X2

(w— u— dh)(2ℳ¹ cosuz—(w Hay u 4 2 0 K a) zcusr²]))—0 oder K(y, z) cosxz. z+ H(y, z) y= 0, PO.,2) 2+ 211 0,2) cos Xz.Xz— 1282(,7)+ 2 cos2xzK(,z) 2— K v,2) A G,2)= 0.,

wo K(y, z)= dzy?²— r2(2z— d)²,

HG, z)= dzy²— 1222+ adzy+ 12d2,

P O, 2)= de+ a)— rax,

S G,z)= dG+ a)— az,

A G]. z)=+ a)?+ 22+ 2(+ a) 2 cos yz.