De Steineri revolutarum areis.

In Crellii Diarii vol. XVIII. a Steinero inter cetera theoremata hoc propositum invenimus:

Circulo praeter curvam arbitrariam, sed convexam et conclusam ejusdem perimetri se revolvente, usque dum in primitivam positionem revertitur, summa arearum V, Vo, V3... Vn, revolutis per n puncta Pi, Pe, Pz... Pn, quaecunque circuli lineam in n aequales partes dividunt,(vertices igitur polygoni regularis constituunt) descriptis propriarum con- stans est, ac quidem aequalis circuli areae 5n fariae; id est:

IV ö5n r2 7M. Theorema propositum disquisitione analytica demonstrabimus. Priusquam ad rem ipsam aggredimur, de nonnullis generalibus revolutarum proprietatibus disseramus et statuamus revolventem ad coordinatas relatam esse polares, quarum polus in arbitrario intra revol- ventem puncto M situs sit(conf. fig. D), sumamus, in hoc coordinatarum systemate pri- mam radii vectoris directionem, e qua anguli polares numerandi sint, esse rectam lineam MB ex polo M ad primum contactus punctum B ductam; fingamus, id quod generalitati non nocet, in hac recta MB sive in ejus prolongatione ultra B jacere describens pune- tum P, cujus distantia a polo sit a; denique probemus, non solum basin set etiam revo- lutam ad eosdem axes perpendiculares relatam esse. Quibus positis, designamus puncti T, quatenus ad revolventem pertinet, coordinatas polares per r et t, sed ejusdem puncti T, quatenus ad basin pertinet, coordinatas rectangulares per S,„, porro significamus de- seribentis puncti P coordinatas ad eosdem axes, ad quos& spectant, referendas per x y, atque distantiam hujus puncti P a communi contactus puncto T per e, tum habemus: 1.(¶= a2— 2 arcost+ xr2

sed aequatio pro circulorum caterva erit:

2. Goe C;).(=„) in qua s, coordinatas centri, x y currentes coordinatas significant.

Ex curvarum involventium theoria cognitum est, aequationem ejus curvae, qua omnes circuli aequatione(2) expressi involvuntur, deducendam esse hoc modo: Aequa- tione(2) secundum eam parametrum, cujus mutationibus singuli circuli exoriuntur, tan- quam secundum variabilem independentem differentiata, eliminanda est parametros inter hanc aequationem et priorem; aequatio inde proficiscens erit quaesita. Illud si est, quis sit haec parametros, brevi diju dicare licet. Mutationes enim circulorum duplici conditi- oni submissae sunt; primum centra circulorum in fixa basi progrediantur necesse est; tum radii circulorum ita augendi aut diminuendi sunt, ut et baseos et revolventis arcus, qui per motum inter se tangentes fuerunt, semper eandem longitudinem retineant.

1