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0+ 1, so müſste nach dem vorigen Satze D.+† von 0 verschieden sein; besälse die Gleichung weniger als o verschiedene Wurzeln, z. B.%— 1, so mülſste D.= O sein. Beides widerspricht der Voraussetzung, und daraus folgt die Richtigkeit des Gesagten.

Satz und Umkehrung können nun in den einen Hauptsatz zusammen- gefalst werden:

Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daſs die vor- gelegte Gleichung ę von einander verschiedene Wurzeln besitzt, nicht mehr und nicht weniger, ist die, daſs die Hauptunterdeterminanten D., D.— 1,... De4 Sämflich verschwinden, De aber nicht*).

§ 2. Die Gleichung für die verschiedenen Wurzeln. Es lälfst sich aber auch leicht die Gleichung herstellen, die die ver- schiedenen Wurzeln, e,..., a der gegebenen Gleichung(1) und nur diese liefert. Bildet man nämlich die Determinante

1 1. 1 1 ar e.„ 2„2 2„ e.. J 0 0 0 0 c e...e—1

und entwickelt dieselbe nach den Elementen der letzten Kolonne, so erhält man eine ganze Funktion Otn Grades von. Ein Blick auf das Schema zeigt aber sofort auch, daſs dieselbe verschwindet, sobald man„= ai, 1.*,..., ox setzt, da dann jedesmal die letzte Kolonne gleich einer vorher- gehenden wird. Es ist also die genannte Determinante

= const.(— i)(—).(—«) und gleich Null gesetzt, ist sie also bereits die Gleichung, die die ge- nannten Wurzeln liefert. Die Koefficienten von„ sind aber darin noch Funktionen der Gröſsen, d,..., ⅜ und zwar alternierende. Die Gleichung läſst sich aber leicht so umformen, dals diese Koefficienten rationale Funktionen der Koefficienten der gegebenen Gleichung werden (dem Rationalitätsbereich von(1) angehören). Zu diesem Zwecke braucht man bploſs das Produkt der beiden alternierenden Funktionen von al,

-.2,..., do

*) Dieser Satz ist von H. Weber in die 2. Auflage seines Lehrbuches der Algebra Bd. I, S. 171) aufgenommen. 1