Über die verschiedenen Wurzeln einer algebraischen Gleichung und deren Ordnungen.

Im 50. und 52. Bande der Mathematischen Annalen habe ich eine Reihe von Sätzen über die Wurzeln einer algebraischen Gleichung ver- öffentlicht, die wegen ihrer Durchsichtigkeit und leichten Verständlichkeit vielleicht auch weitere Kreise der Herren Fachgenossen interessieren dürften. Ich beabsichtige daher einen Teil jener Sätze, ohne auf die dort heran- gezogene Theorie der Elementarteiler einzugehen, hier in einer dem Rahmen einer wissenschaftlichen Programmbeilage entsprechenden Form zu entwickeln und insbesondere auch deren Anwendung auf die Theorie der biquadratischen Gleichungen zu geben.

§ 1. Die Anzahl der verschiedenen Wurzeln. Es sei (¹) F9)= dog ag aeg+ 4.= 0 eine Gleichung nten Grades mit konstanten Koefficienten und (2) I, We,.., I

ihre Wurzeln. Führt man dann, wie üblich, die Newton'schen Potenz- summen ein durch die Gleichungen

So= G+ o+= n, (3) 81= 9A+ 4A+ 9,

S= 9A+‿. X+ NM,

.... so sind die sa symmetrische Funktionen der Gleichungswurzeln und dem-

gemäſs rationale Funktionen der Gleichungskoefficienten. Vermittelst der Newton'schen Formeln

d⁵*+‿ 1= 0, (4) d082+ 181+[ 22= 0, d03+ 182++ 3 3= 0,

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