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erwiesen ist, so gilt dasselbe Gesetz also für v= h-†rℳ.3 u. s. w. für v= n. Es ist daher 1—

„ n!. n(n- 1)—(à+. ¹) h——ℳ1)r Sa(à+¹)(+ ¹)= r1) 4 5

Es war aber für h= 1+ 1

— n! n(n— 1)—(r+ 1)*—(rl)r 8a(+ℳ1)(+)= 1—

mithin also auch dasselbe Gesetz gültig, wenn h= Tℳ 2 u. s. w., wenn h= p.

—. n! n(n— 1)—(pä 1)—(+ℳ 1)„ Daher ist 8a()(1)= 4 7 3

Wir hatten nun beim Beginn des Beweises die Voraussetzung gemacht, dass n! n(n.— 1)— p(p— 1)— r(r— 1)

Sn(p)(r)—„2:— 7 sei, und haben also dasselbe Geseiz bestätigt geſunden für r=r 1. Weil aber mon für r A 2....... 6,2)ℳ2)= 2. B 1

erwiesen worden ist, so fundet nun auch für r= 3, u. s. w. r= q dasselbe Gesetz statt, und es ist— 1 3

21 4— ¹1)— b- 1)— 4(4— ¹) Soe e

Enthalten die gegebenen n Elemente ausser den p gleichen und q gleichen Elemen-

ten, noch r gleiche von jenen aber verschiedene, so udet man auf ähnliche Weise wie vorher 3

—1 n! n(n— 1)— p(). 1) Sa(P)a)r) 8 PI qTr 3 4 1 4 2

so dass das allgemeine Gesetz leicht ersichtlich ist.

Mit Hülfe der gefundenen Resultate lässt sich nun auch die Summe der Variationen für jede Klasse der Combinationen, in denen Versctsungen der gegebenen Elemente vorkommen, bestimmen.

Man betrachte auerst den Fall, dass man Combinationen mit Wiederholungen und Versetzungen aus den n Elementen a, b, c.... n gebildet habe. Um die Summe der Variationen für diesen Fall zu Jettiunnen, bilde man sich die Combinationen mit Wiederholungen und ohne: Nersetzungtn aus den'geßebenen, Elementen, und zwar so, dass man die Combinationen von derselben F. Sorm welche also auch, wenn die Elemente etlhen versetzt werden, eselhe Sr Samwe der Vartattonen geben

-A1d⁴)—(14 d(&+* ⁴) 8r müssen, in eine rdnung zusammen fasste eh) I-H4he A 4*