Das Fadenpendel,

eine erweiterte Darstellung der Pendelbewegung.

Sieht man von dem Widerstand der Luft ab, so bewegt sich ein materieller Punkt, wenn ihm durch einen Anstoss eine Geschwindigkeit in bestimmter Richtung erteilt wird, unter dem Einfluss der Schwerkraft in einer Parabel. Ist nun derselbe durch einen unausdehnbaren Faden (vollkommen biegsame, gewichtslose Linie) mit einem festen Punkt verbunden, so hört seine Be- wegung in der Parabel auf, sobald er vom festen Punkt eine Entfernung gleich der Länge des Fadens erreicht hat. Die Geschwindigkeitskomponente in der Richtung des Fadens wird durch die Festigkeit des Fadens vernichtet, und die darauf senkrecht gerichtete Komponente stellt die Anfangsgeschwindigkeit der folgenden Bewegung dar. Diese geht unter der Bedingung vor sich, dass die Entfernung des materiellen Punktes von dem festen Punkte nicht grösser als die Länge des Fadens sein kann; sie stellt also die Bewegung des Pendels dar, solange die Entfernung gleich der Länge des Fadens bleibt. Da aber die Verbindung mit dem festen Punkt durch den Faden keine starre ist und die Entfernung des materiellen Punktes von dem festen auch wieder kleiner werden kann als die Fadenlänge, so kann in dieser Hinsicht die Pendelbewegung auch in einem weiteren Sinne betrachtet werden, was in dem Folgenden geschehen soll.

I. Teil.

Zunächst sei die Annahme gemacht, dass der materielle Punkt, dessen Masse gleich der Einheit sei, einen Anstoss in der durch ihn und den festen Punkt gehenden Vertikalebene er- halten hat(ebenes Pendel), darauf möge im zweiten Teil die Untersuchung auf das sphärische Pendel ausgedehnt werden.

l. Bewegung auf dem Kreise. Einfaches Pendel.

Nimmt man den festen Punkt als Pol, die Vertikale durch denselben in der Richtung der Schwere als Polaraxe, bezeichnet man ferner die Beschleunigung der Schwere mit g, die Länge des Fadens mit!, den Polarwinkel mit ϑ und mit 9 denjenigen Polarwinkel, mit welchem der bewegte Punkt in die Peripherie des Kreises trifft, so gilt bei abnehmendem Polarwinkel für die Pendelbewegung die Differentialgleichung:

1 d² 9 (1)...........— r2.= 9 3in 9, deren erstes Integral (2)..... 92= vo²*+ 2 9l cos— 2 91 cos ₰

ist, wenn d% die Anfangsgeschwindigkeit der Pendelbewegung darstellt. Aus der Gleichung geht hervor, dass die Geschwindigkeit v für den Polarwinkel—& dieselbe ist wie für 9, d. h. in