muſ mupirierin. 44n aneuie aale d tegennbalin nſcinp(wauuutr

numen numerare minoꝛẽ. ⁊ qꝛ h

IIII. numerãs qui ⁊ idẽ n per.z3.pꝛimi numerabit a b c d: qð eſt pꝛimũ in pꝛopõne intentũ. Et per decimã ſeptimã tertii n erit inuẽtus maximꝰnumerus numerãs a b cd alioqͥn ꝑ coꝛrelariũ i6 accidet maioꝛẽ

denoĩat n inl ⁊ l in e:er go ꝑ ⁊5 pꝛimi nũerus q̃ ſit ex h in ſe qui ſit o denoĩat n in e. ⁊ qꝛ h etiã denoĩat e in a:ergo ꝑ eandẽ 23 numerus qui ſit ex h in oqͥ ſit q denominat n in a. ercadẽ rõne qꝛ lꝛ denoĩat n inm et m in g. ergo per viceſimã tertiã pꝛimi numerꝰ qui ſit ex lꝛ in ſe qui ſit p denoĩat n in gꝛet etiã qꝛ lꝛ denominat gin d: igit᷑ per eandẽ numerus q̃ fit ex lꝛ in p qui ſit r denoĩat n in d. numerat igitur n numerũ a ſcðm ꝗ et numerũ d ſcðm r· et qꝛhlꝛ ſunt adinuieẽ pꝛimi: ergo per duodecimã tertii ꝗ et r ſunt cõtra ſe pꝛimi:quare per viceſimã eiuſdẽ in ſua ꝓpoꝛtione mĩimi

Per coꝛrelariũ igitur viceſimetertie eiuſ dẽ q et r numerabũt a ⁊ d ſcðm maximũ numeꝝ numerantẽ

a et d. eſt igitur n maximus nũerus numeros a d extremos numerãs quod eſt ſecundũ. Pꝛimũ coꝛre⸗ lariũ hinc cognoſcit᷑.nam qꝛ idẽ numerus h in n le:pꝛoducit le a. ergo per ſeptimã pꝛimi a eln erunt cõtinue ꝓpoꝛtionales.⁊ per idẽ qꝛl in nin g pꝛoducit m gd:ergodgmn erũt continue ꝓpoꝛtionales quare ſicut inter a ⁊ d cadũt b e duo medii ꝓpoꝛtionales ſilr inter a ⁊ ncadũt duo el. et inter d⁊ nca⸗ dunt gm duo medii ꝓpoꝛtionales ſcʒ totidẽ medii ꝓpoꝛtionales int᷑ duos cõicantes et totidem inter

vtrũq; eoꝝ et maximũ eos cõiter numerantẽ: qð eſt pꝛimũ coꝛrelariũ. ſi cðm vero hinc ſit notũ · nam qꝛ

per viceſimãtertiam tertii ⁊ decimãnonam h in e in f et in g ꝓducit ab c. ergo per ſeptimam ſecundi

abc ⁊ efgſunt cõtinue ꝓpoꝛtionales: qð eſt ſecundũ coꝛrelarium ⁊ pꝛopoſitũ.

¶ Numeros diuerſarum pꝛopoꝛtionũ ſumere: quoꝛum maximi cõmuniter binos et

binos numerantes ſint continuc pꝛopoꝛtionales.

¶ Sint a b nũeri contra ſe pꝛimi:a minoꝛ et b maioꝛ ⁊ a in ſe ꝓducat c et in b ꝓducat d ⁊ b in ſe pꝛo⸗ ducat e:per ſeptimã ſecũdi q̃ pꝛopoꝛtio a ad b ea eſtc ad d.et ꝑ oetauã eiuſdẽ iterũ que ꝓpoꝛtid a ad h ea eſt d ad e. ſunt ergo c d e cõtinue pꝛopoꝛtiõales.duco s̊ a in c et fiat f⁊ in d ⁊ ſiat g:eritq; ꝑ ſeptimã ſecũdi g ad f ſicut d ad c.quare ⁊ ſicut b ad a et qꝛ q̃ pꝛopoꝛtio a ad b ea eſt c ad d:ergo per ⁊ ſecundi

qð fit ex a in d equũ eſt ei qð ſit ex b in c.at qð fit ex a in d poſitũ eſt eſſe g.quod ergo fit ex b in c eſtg. et qð ſit ex c in a eſt f.ergo ꝑ coꝛrelariũ viceſimetertie tertii c eſt maximꝰ numerus numerãs fg.Item duco d in e ⁊ ꝓueniat hꝛqꝛ ergo d in a ꝓducit g: ⁊ din e ꝓducit h. ergo ꝑ ſeptimã ſcðᷣi q̃ ꝓpoꝛtio e ad a

ea eſt h ad gꝛet pꝛopoꝛtio e ad a nõ eſt vt b ad a.nã e ⁊ b totũ ſcʒ et pars equarent᷑: quod eſt ĩpoſſibile.

ergo ꝓpoꝛtio h ad g nõ eſt ꝓpoꝛrio g ad f. Itẽ qꝛ a bſunt cõtra ſe pᷣmi et e pꝛoducit᷑ ex b in ſe.igit᷑ ep vndecimã tertij eſt pmus ad a.ſunt igit e ⁊ a in ſua ꝓpoꝛtione mĩmi.at d nũesat gſm a ⁊ idẽ d nũerat

hſm e. igit᷑ ꝑ coꝛrelariũ viceſimet᷑tie ttij d ẽ maximꝰ nũerus numerãs s et h.ſumo ergo lꝛ pꝛimũ ad d

et maioꝛẽ d in alia quidẽ ꝓpoꝛtione qᷓ; b ad a et ꝙᷓ e ad a:⁊ duco ipᷣm in e et ꝓueniat l.qꝛ ergo e in d facit h et e in lꝛ facitl per feptimã ſecũdi q̃ ꝓpoꝛtio lꝛ ad d ea eſtl ad h.atꝓpoꝛtio lꝛ ad d poſita eſt alia a ꝓpoꝛtiõe b ad a et e ad a.ergo ẽ alia ᷓ gadff̊et h ad g.et qꝛ lꝛ d ſunt ↄtra ſe pᷣmi ⁊ iõ in ſuaꝓpoꝛtione mimi ⁊ numerãt hl ſᷣm e.eſt igit᷑ ꝑ idẽ coꝛrelariũ ⁊ʒ tertij e maximꝰnũerus numerãs h et l.ſũpti ſunt igf̃ fgh lnumeri diuerſaꝝ ꝓpoꝛtionũ quoꝝ maximic d e binos ⁊ binos cõiter numerãtes ſunt ↄtinue pꝛopoꝛtionales: quod eſt pꝛopoſitum.— 0

CSi numeroꝝ continue ꝓpoꝛtionalium duo extremi ſunt contra ſe pꝛimi:erunt oẽs illi in ſua pꝛopoꝛtione minimi

¶ Sint a b c cõtinue pꝛopoꝛtionales quoꝝ a ⁊ cſint cõtra ſe pꝛimi:dico tres nũeros abc eſſe mĩmos in ꝓpoꝛtione a ad b.nã ſi ſint tres mĩoꝛes ſint d e f: qꝛ ꝑ viceſimãpꝛimã ſcvðᷣi et equã pꝛopoꝛtionalitatẽ ꝗ̃ᷓ pꝛopoꝛtio a adc ea eſtd ad feta ⁊cꝑ hypotheſim ſunt contra ſe pꝛimi.ergo ꝑ viceſimã tertij ſunt in ſua ꝓpoꝛtione minimi.numerãt ergo numeri a c per decimãnonam eiuſdẽ numeros d ⁊ fꝛmaioꝛes ſcʒ minoꝛes quod eſt ĩpoſſibile.

¶ Si quotlibet nũcri fuerĩt in ſua ꝓpoꝛtiõc mĩimi:ipſoꝝ duo extremi erũt ↄtra ſe pᷣmi

¶ hec eſt cõuerſa pᷣcedentis.Sint ergo ab c in ſua ꝓpoꝛtione minimi:dico a et c eſſe contra ſe pᷣmos. Mã ſi a et c ſint cõicantes erit nũerus alids idem ꝑ ſecundã huiꝰ eos oẽs cõiter numerãs qͥ ſit d quos qꝛ ab cſunt tres nũeri inequales:nũerabit ſᷣm tres diuerſos nũeros.numeret ergo afme ⁊ bimret ckm gꝛper ſeptimã ſecundi e f g ſunt in eadem pꝛopoꝛtione cum a bc et cũ ſint minoꝛes abc vtpote qͥ ſunt eoꝛum partes nõ ſunt igitur a b c dati minimi:quod eſt contra hypotheſim.

¶ Mumeros quotlibet em datã pꝛopoꝛtionẽ minimos iueſtigarc. Vſñ manifeſtũ erit

ex duoꝝ in aliqua ꝓpoꝛtione minimoꝝ pꝛimo in ambos et ſcðo in ſe:tres. et ex eodẽ pᷣmo in illos tres codẽq; ſcðo in tertiũ: quattuoꝛ ꝓtinus enaſci illius ꝓpoꝛtionis mi⸗ nimos. ꝙ ſi pꝛimũ hoc pacto in omnes ducere pergis et ſecundũ in vltimũ:quotquot ubnen in aliqua pꝛopoꝛtjone minunos efficies. ius ꝓpoꝛtionis mĩmi ꝑ viceſimãtertiã tertij reperiãtur qͥ ſint a bꝛduco a in ſe ⁊ puentat cet a in b ⁊ ꝓueniat d et b in ſe et pꝛoueniat e per ſeptimã ⁊ octauã ſcðᷣi tres nũeri cde„eetaetiakegtaln nales et ꝑ duodecimã tertij extremi c e ſunt cõtra ſe pᷣmi quare per quartã huis illi tres nũeri ſunt in ſr ꝓpoꝛtione mĩmi.Itẽ duco a in oẽs illos et pꝛoueniãt fgh ⁊ b in e etꝓueniat lꝛ ⁊ eadẽ rõne f ghl unt 5 tinue ꝓpoꝛtionales et extremi f ⁊ lꝛ contra ſe pmi et illi q̃ttuoꝛ in ſua pꝛopoꝛtione mĩmi.et hoc pꝛoce u quinq;ſ exſ eptẽ et quorquot voles reperiãtur.· Coꝛrelariũ ex mõ demͤſtratlonts cognitũ eſt. CSi numeri cõtinue ꝓpoꝛtionales in ſua pꝛopoꝛtione fuerint mĩmi: quotcũq; inter

extremos fuerit medij toudẽ inter vtrũq; extremoꝝ ⁊vnitatẽ ꝓpoꝛtiõales cẽ ↄueniet b 3