5

Variabeln sind, ist eine notwendige Bedingung. Hesse selbst meinte, daß diese Bedingung auch hinreichend sei. Pasch be- weist dies für spezielle Fälle. Im selben Jahre wurde das Pro- blem von Gordan und Noether aufgegriffen und vollständig gelöst. Es zeigte sich, daß Hesse unrecht hatte.— Bis zu dem Jahre 1880 sind alle Arbeiten in dem Crelleschen Journal erschie- nen. Von da an veröffentlicht Pasch seine Arbeiten in den Mathe- matischen Annalen. Vielleicht drückt sich hierin eine nähere Ver- bindung mit Klein aus. Eine ganze Reihe von Annalen-Arbeiten beschäftigt sich mit den speziellen Arten von projektiven Ver- wandtschaften in der Ebene. Es werden einfache geometrische Bedingungen dafür angegeben, daß eine von den rationalen In- varianten der Transformation verschwindet. Uberall ist es Pasch darum zu tun, anschauliche Resultate zu gewinnen und die alge- braischen Verhältnisse möglichst reinlich und übersichtlich dar- zustellen. Tiefere Hilfsmittel anzuwenden, hat er, wie gesagt. stets verschmäht. An diese Arbeiten schließen sich auch Gieße- ner Dissertationen und Arbeiten sonstiger Mathematiker an.

Pasch hat immer großen Wert auf seine algebraische Pro- duktion gelegt. Auf dem Felde, wo er seine jugendlichen Kräfte zuerst übte, hat er bis über das achtzigste Jahr hinaus gearbeitet. Seine letzte Annalen-Arbeit ist noch ein kleiner Beitrag zur algebraischen Geometrie. Es war für ihn sicher stets eine Ge- nugluung, daß er diese Methode vollständig beherrschte; er hat gerne die beruhigende Gewißheit empfunden, im mathemali- schen Handwerk ein Meister zu sein.

Jetzt wenden wir uns wieder dem Teil der Pasch'schen Tätigkeit zu, der für uns bei weitem am wichtigsten ist, seinen Forschungen auf dem Gebiete der Grundlagen. Im Jahre 1882 erschien sein erstes selbständiges Werk:„Vorlesungen über neuere Geometrie“. Dies Buch hat keine Vorgänger, viele Nachfolger. Es bezeichnet den Anfang einer neuen Epoche in der Kenntnis des Menschen von seinen eigenen Werken. Ehe wir an eine Darstellung des Inhalts gehen, wollen wir die Vorbedingun- gen für die Entstehung des Buches betrachten. Pasch hat neben dem Unterricht bei Schroeter in Breslau auch die Vorlesungen von Lipschitz, dann aber vor allem in Berlin(nach seiner Pro- motion in Breslau 1865, als 21jähriger) die Vorlesungen von Kronecker und Weierstraß gehört. Durch diese Männer kam er in Berührung mit der besinnlichen Strömung in der