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ſelbſt ein allgemeiner Ouotient iſt, ſpeziell eine Zahl vorſtellen kann. Legt man dieſe Symbole wieder als Grundzahlen für Potenzen mit ganzen Exponenten zu Grunde, ſo gelangen wir erſt bei den indirecten Ope⸗ rationen der Wurzelausziehung und Logarithmation zu neuen Symbolen, zu den irrationalen Wurzeln und den imaginären Ausdrücken, wie 177,/ a, die ſich, da es weder einen poſitiven noch einen negativen Quotienten giebt, der zur 2ten Potenz erhoben, gleich 7 oder— a werde, auch keiner dieſer Ausdrücke gleich 0 geſetzt wer⸗ den kann, ſich gerade ſo wenig auf allgemeine Quotienten und Differenzen zurückführen laſſen, als die allge⸗ meinen Differenzen auf Quotienten und dieſe auf Zahlen im gewöhnlichen Sinne zurückführbar waren, welche ſich vielmehr gerade ſo gut wie die OQuotienten und Differenzen als ſelbſtſtändige Symbole verhalten, bei deren Vergleichung und Behandlung ganz dieſelben Ueberlegungen anzuſtellen ſind, welche bei den Quotienten und Dif⸗ ferenzen angeſtellt werden mußten, bei denen die rationalen Wurzeln, unter welcher Form alle frühere Symbole aufgefaßt werden können, dieſelbe vermittelnde Rolle zu übernehmen haben, wie bei den allgemeinen Differenzen diejenigen Differenzen, die einem Quotienten gleich geſetzt werden konnten, wie bei den allgemeinen Quotienten diejenigen Quotienten, welche einer Zahl gleich waren. Es wiederholen ſich hier die Fragen: Giebt es immer einen Ausdruck, der zur nten Potenz erhoben gleich a wird, und wie viele und welche, und: Giebt es immer einen Ausdruck, mit dem a potenzirt eine Potenz giebt gleich b, und wie viele und welche ꝛc.(a und b ganz allgemein gedacht). Man weiß aus dem Vorigen, daß aus der Nichtbeachtung dieſes Punktes beſonders viele der falſchen Reſultate gefloſſen ſind, über die ſo häufig und ſtark geklagt worden iſt. Für unſern Zweck bedarf es blos der einfachen Anführung, daß die Anwendung der verſchiedenen Operationen auf die genannten Symbole keine neue, ſelbſtſtändige Symbole hervorruft, ſondern alle ſich ergebende Ausdrücke auf die frühern zurück⸗ geführt werden können.

Die Arithmetik hat alſo kein anderes Object, als die Zahl im gewöhnlichen Sinne des Wortes. Durch Anwendung der Begriffe der directen Operationen: Addition, Multiplication, Potenzirung und der indirecten: Subtraction, Diviſion, Radication, Logarithmation, in dem urſprünglichen Sinne genommen, wo nehmlich das Reſultat jeder Operation wieder eine Zahl iſt, denkt man ſich eine Zahl blos ſo oder ſo entſtanden, in dieſer oder jener Beziehung zu andern geſtellt, bald als Summe, bald als Product, bald als Potenz, bald als Diffe⸗ renz, bald als Quotient, bald als Wurzel, bald als Logarithmus. Dieſe ſo und ſo geformten Zahlen kann man nun nach denſelben Operationsbegriffen wieder zu neuen Summen, Differenzen, Producten ꝛc. von Sum⸗ men, Differenzen verbinden, oder in Summen, Differenzen ꝛc. von Quotienten, oder Differenzen ꝛc. umformen, ſo jedoch, daß jede neue Verbindung, jedes neue Element wieder eine Zahl im gewöhnlichen Sinne vorſtelle. Bei dem Geſchäfte dieſer Verbindung und Umformung von ungeformten oder ſchon geformt gedachten Zahlen würde man ſich aber in der Anwendung der indirecten Operationen gar bald beſchränkt und aufgehalten ſehen. Ja bei dem Gebrauch von allgemeinen, unbeſtimmten Zahlen, über deren gegenſeitiges Größenverhältniß vorher keine Vorausſetzungen gemacht worden ſind, würde die Anwendung dieſer Operationsbegriffe gleich von vornherein

b abgewieſen werden müſſen, da man nicht weiß, ob(a4— b), 8 VWa-log a noch eine Zahl vorſtellen oder nicht.

Um alſo z. B. durch F nicht aufgehalten zu werden, geht man, wie das im Vorigen gezeigt worden iſt, von dem

beſondern Falle, wo der Diviſor in den Dividend aufgeht, aus, und denkt ſich alle Zahlen in Quotienform gebracht, ſucht die Definitionen der Gleichheit, Ungleichheit, Addition, Subtraction ꝛc. ſo geformter Zahlen in der Weiſe umzuändern, daß dabei gar nicht mehr an die Vorausſetzung, alle dieſe Quotienten ſtellen Zahlen vor, gedacht zu werden braucht, und

man der Einſchränkung, daß bei 1 die Zahl b in a aufgehen müſſe, überhoben iſt, vielmehr mit dem Symbol