Fünf Punkte, P, bis P,, werden durch ihre Koordinaten gegeben, ein sechster Punkt P durch Winkelmessung gegen die fünf ersten festgelegt: es sollen die Koordinaten desselben nach ihrem wahrscheinlichsten Werte angegeben werden. Die gemessenen Winkel sind einerseits solche, deren Scheitel an den gegebenen Punkten liegen, und andererseits sind alle Winkel am Punkte P gemessen, unter welchen die einzelnen Seiten des Fünfecks erscheinen. Zur Lösung der Aufgabe sind zunächst die Widersprüche zu entfernen, welche sich aus den Feh- lern der Winkelbeobachtung nach Massgabe der konstanten Winkelsummen in Vielecken er- geben, danach ist die wahrscheinlichste Lage des Punktes P mittels graphischen Verfahrens zu ermitteln.

Der Bearbeitung dieser Aufgabe war eine Erläuterung des in:„Gauss, die trigono- metrischen und polygonometrischen Rechnungen der Feldmesskunst“ mitgeteilten Verfahrens voraufgegangen.

. Gegen eine horizontale Ebene H ist eine andere E unter dem Winkel von 25 18/4“ geneigt. In der Ebene E liegt mit seiner Grundlinie längs des Schnittes ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Winkel an der Grundlinie 57 0.... betragen: es soll die Neigung der Schenkel gegen die Hori- zontalebene berechnet werden.

. Ein Punkt O auf der Erdoberfläche, die als Kugel anzunehmen ist, gelte für die in einem Bezirk gelegenen Punkte als Anfang der Koordinaten, der nach Norden gerichtete Teil seines Meridians als positiver Teil der Abscissenaxe. Die geographischen Koordinaten des Punktes O seien 51° 47/34,82“ n. Br. und 15 4˙32“ östl. L. gegen den Meridian von Berlin; und gleich- zeitig habe ein Punkt B. von welchem das Perpendikel PP' auf den Meridian herabgelassen zu denken ist, die sphärischen Koordinaten P"'0= ꝙ=— 57 364,82 m; PDP=„ =+ 12 546,18 m: man verlangt die geographischen Koordinaten des Punktes B und nament- lich auch den Breitenunterschied der Punkte P und P' zu kennen.

.Es soll das Gewicht eines graden Sandsteinobelisken berechnet werden, der gegebene recht- eckige Endflächen(Gund K) und eine gegebene Höhe hat. Danach soll ferner der Unterschied

zwischen dem Inhalt des mittleren Querschnittes(A4) und dem Querschnitt in der Mitte,

sowie endlich angegeben werden, in welcher Höhe jener mittlere Querschnitt liegt.

.Die Höhe einer Pyramide ist in* gleiche Teile geteilt, durch jeden Punkt eine Ebene parallel zur Endfläche gelegt und über jedem Querschnitt ein Prisma konstruiert, welches bis an die folgende Ebene reicht. Diese Prismen umschliessen stufenförmig die Pyramide und nähern sich dieser um so mehr, je grösser die Zahl e ist. Es soll aus der Summe der Prismen der Inhalt der Pyramide abgeleitet, dabei aber der Unterschied beider für ein endliches a nicht ploss ange- geben, sondern an dem Körperinhalte der hervorspringenden Stufen auch nachgewiesen werden. Die Endigung von sechskantigen Schraubenköpfen wird bekanntlich nach einem Kegel gestaltet, dessen Seiten mit der Ebene der Grundfläche einen Winkel von 30 bilden; und es findet an dem Ubergange von Prisma P in Kegel eine Durchdringung beider Körper statt. Den Radius des um die Grundfläche des sechsseitigen Prismas beschriebenen Kreises= r gesetzt, soll der Inhalt einer Scheibe berechnet werden, die zwischen zwei zur Axe des Prismas und Kegels senkrechten Ebenen liegt, von welchen die eine den Anfang, die andere das Ende der Durch- dringung trifft.