Bemerkenswerth iſt noch, daß um die Curve ein Quadrat beſchrieben werden kann, deſſen Seite= 2a iſt und deſſen Ecken in den Coordinatenaxen liegen. Es ſchneiden nenlich, wie aus der Tabelle erſichtlich iſt, die 4 Tangenten, welche den

Zeiten= ½, 43, 20, 23 entſprechen, die Coordinatenaren in einem Abſtande= a V2 vom Schwingungsmittelpunkt,

je zwei zeitlich aufeinander folgende ſtehen ſenkrecht aufeinander und alle vier ſind einander gleich. Auch könnte man in erwei⸗ tertem Sinne das Quadrat, deſſen Ecken in den Mitten der Seiten des umſchriebenen Quadrats liegen und deſſen Diagonole —= 2a iſt, ein der Curve eingeſchriebenes Quadrat nennen, da die Curve durch die 4 Ecken deſſelben geht.

4. Es läßt ſich ſchon im Voraus vermuthen, daß nicht blos die Curve, für welche m:n= 2:1 iſt, die vorerwähnte, intereſſante Eigenſchaft beſitzt, daß ihr ein reguläres Vieleck umſchrieben werden kann. Wir wollen jetzt zeigen, daß allen Curven, mit Ausnahme derjenigen, bei welchen m= 1 iſt, reguläre 2m⸗ oder m⸗Ecke umſchrieben und in erweitertem Sinne eingeſchrieben werden können und daß dieſe Vielecke nichts anders ſind, als die dem Kreiſe vom Radius a um⸗ und eingeſchriebenen regulären Vielecke.

Von der Richtigkeit der aufgeſtellten Behauptung überzeu⸗ gen wir uns einmal, wenn wir die vorher angeſtellte Rechnung auch für andere Werthe von m und n ausführen, das andere⸗ mal aber noch einfacher und allgemeiner, wenn wir auf die Entſtehung der Curven zurückgehen. Denken wir uns nemlich unter m, wie ſchon früher bemerkt wurde, eine beliebige ganze Zahl, ſo ſteht feſt, daß der ſchwingende Punkt s in der Zeit⸗ einheit 2m mal ſeine größte Entfernung vom Schwingungs⸗ mittelpunkte, die Elongationsweite a erlangen muß. Wir erhalten deshalb auf den Curven, welche nach der Zeiteinheit vollendet ſind 2m, bei denen aber, welche zur Vollendung nur die halbe Zeiteinheit brauchen, m Punkte, welche vom Schwingungsmit⸗ telpunkt den Abſtand a haben. Ein Kreis mit dem Radius a, vom Schwingungsmittelpunkt aus beſchrieben, berührt folglich