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2. Bei einer ungeraden Anzahl von Zahlen ist die Differenz zwischen dem Quadrat qer mittleren und dem Produkt der ersten in die letzte gleich dem Produkt aus der Differenz gwischen der mittleren und ersten in die Differenz zwischen der letzten und der mittleren. Für 2, 4, 6, 8, 10 2. B. ist 62— 2.10=(6— 2)(10— 6).

Bei einer geraden Anzahl ist die Differenz zwischen dem Produkt der beiden mitt- leren und dem Produkt der ersten in die letzte gleich dem Produkt aus der Differenz einer der beiden mittleren und der ersten in die Differenz der letzten und jener mittleren. Für 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 2. B. ist 8. 10— 2.16=(8— 2)(16— 8)=(10— 2)(16— 10).

3. In einer Reihe dieser Art ist das(geometrische) Verhältnis zweier auf einander folgenden kleineren Zahlen größer als das Verhältnis zweier auf einander folgenden größeren. Bei den Zahlen 2, 4, 6 z. B. ist ½— ¼.

Weiter wird gezeigt, wie man in jeder der beiden Proportionen a— b= c— d, a— b= b— c irgend ein Glied berechnen kann, sobald die übrigen Glieder gegeben sind.

Das zweite Kapitel behandelt die geometrische Proportion oder, was auf das- selbe hinausläuft, Zahlen, von denen jede aus der vorhergehenden durch Multiplication mit der- selben Zahl entsteht, wie 2, 4, 8, 16, u. S. W. oder 2, 6, 18, 54, u. s. w. Auch von diesen werden drei Eigentümlichkeiten erörtert: 5

1. Die Differenzen je zweier auf einander folgenden Zahlen stehen in demselben Ver- hältnis wie zwei solche Zahlen selbst.

Für die Reihe 3, 9, 27, 81 u. s. w. ist danach(9— 3):(27— 9)= 3:9.

2. Aus a: b= b: c folgt b2= ac, und aus a: b= c: d folgt be= ad.

3. Bei einer ungeraden Anzahl von Zahlen a, ad, ad 2„aqu, aq † 1,... a q22,

wo also a qa die mittlere ist, hat man(ad 2n+ a)— 2. adn=(ad*— a)(4— 1). Für die Reihe 2, 4, 8, 16, 32 z. B. ist(32+ 2)— 2. 8=(8— 2)(4— 1). Ist dagegen die Anzahl eine gerade a, ad, ad?²..., ad*, aqn+ 1,„aq:n+1, in welchem Falle zwei

mittlere Glieder aqu, aq“+†1 vorhanden sind, so hat man (a4en 4.1+. a)—(4“+ a4+† ¹)= G4“+ 1— a)(4*— 1)= Gdx— a)(4+†— 1) Für die Reihe 2, 6, 18, 54 ist danach(54+ 2)—(18+ 6)=(18— ²) 6— 1)=(6— 2)(9- 1).

Misrachi berechnet sodann für jede der beiden Proportionen a: b= c: d und a:b= b:c ein Glied aus den übrigen. In den Beispielen beschränkt er sich dabei nicht auf ganze Zahlen, sondern er verwendet auch Brüche und gemischte Zahlen; er benutzt 2. B. die peiden Proportionen ⅛:= ¼: 6, 2 ½: 3 ¾¼= 3 ¾: 5 5⁄.

Der Schluß des II. Abschnitts ist der harmonischen Proportion gewidmet. Vier Zahlen a, b, c, d bilden eine harmonische Proportion, wenn(b-— a):(d— c)= a: d ist. Misrachi betrachtet aber nicht den allgemeinen Fall, sondern beschränkt sich auf die so- genannte stetige Proportion, bei welcher es sich nur um drei Zahlen a, b, c handelt, die der Bedingung(b— a):(C— b)= a: genügen. Zahlen dieser Art sind z. B. 3, 4, 6, da (4— 3):(6— 4)= 3: 6 ist.

Die Eigenschaften dieser Proportion, die Misrachi angiebt, sind folgende:

1. Das Verhältnis der kleinsten Zahl zur mittleren ist größer als das der mittleren zur größten. So z. B. ist ¼— 4%¼.