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Wie man sieht, sind in diesen vier Dreiecken(das ursprüngliche mitgerechnet) entweder die Werthe von a je einander gleich(a und a., a, und as), oder sie ergänzen sich zu 180°9(a und a,, a und a,, a, und a,, a, und a,). Im ersten Falle hat man zwei Dreiecke zusammenzustellen, von welchen in dem einen b und p zugleich= oder 90° und in dem andern ebenfalls 5 und 7 zugleich= oder = 90° sind, oder aber zwei Dreiecke, von welchen in dem einen 5= 90°und„= 90° oder umgekehrt ist, im andern aber 5= 90°und 7= 90° oder umgekehrt. Im zweiten Falle gehören je zwei Drei- ecke von solcher Beschaffenheit zu einander, dass in dem einen b und 7 zugleich= oder=— 90%, in dem andern aber 5 und y nicht zugleich= oder— 90 ‧%, sondern entweder 5= 90° und„= 90° oder umgekehrt ist.

Bei Berücksichtigung dieses Umstandes erhellt, dass man in unseren oben aufgestellten vier Fällen die Seite a in folgender Weise bestimmen muss:

im ersten Falle hat man ¹= P.+ P. oder P.— P; „ zweiten„„„ 4= P.— 0„ P+ P⸗; „ dritten„„„ a= 180°—(P.— P.) oder 1800—(P.+ P.); „ vierten„„„ a⸗= 1800—(P. †. P.)„ 180°—(P,— P.); wo jedesmal der erste Werth von a für das positive cosg, der zweite für das negative cosé gilt. Kein Werth von a darf negativ oder grösser als 180° werden, weil einestheils ein negatives a ein Dreieck voraussetzte, in welchem statt des Winkels y sein Supplementwinkel gegeben wäre, andern- theils keine Seite des Dreiecks 1800 übersteigen soll. Dies tritt aber wirklich in allen unseren vier Fällen bei einem der zwei Werthe des a ein, sobald Pe— Pp ist; dann ist in jedem der vier Fälle immer nur je ein Werth von a positiv und= 180%, d. h. die obige Ungleichheit ist die Bedingung für die Eindeutigkeit der Lösung unserer Aufgabe, und es existirt, wenn sie erfüllt ist, nur ein Dreieck mit den gegebenen Stücken. Da wir unter P, und P. Bogen verstehen, welche= 90° sind, so kann man statt dieser Ungleichheit auch setzen: tg P. tg Py, und da ferner tg P, gleich dem absoluten Werthe von tgb. cosy und tg P, gleich dem absoluten Werthe von tge. cosg abgesehen vom Zeichen, so erhält die Ungleichheit endlich die Form: tg'*c. cos“⁵= tg*b. cos“y. Verwandelt man hier alle Tangenten und Cosinusse in Sinusse, so gibt es: sin'c.(1— sin* 9)— sin*b.(1— sin*y) 1— sinic 1— sini oder, wenn man den oben(Gleichung 4) gefundenen Werth von sin einsetzt: sin'c— sin“*h. sin'y— sin¹5.(1— sin“*„) 1— sinic 1— sin¹5 Die kreuzweise Multiplication liefert, nachdem die gleichen Grössen auf beiden Seiten weggehoben und alle Glieder auf die linke Seite gebracht sind: (sinc— sin* 5)(1— sin²b. sin“)= 0. Der zweite Factor auf der linken Seite ist seiner Natur nach immer positiv, daher kann diese Un- gleichheit nur bestehen, wenn auch der erste Factor positiv ist, d. h. wenn sinc= sin*?b, oder, da die Sinusse der Seiten b und c immer positiv sind, wenn 6) sine ₰ sinb ist.

Von den speciellen Fällen, in welchen diese Bedingung erfüllt wird, die Lösung also ein- deutig ist, wollen wir denjenigen hervorheben, wo sinc= 1 oder c gleich einem Quadranten ist. Bemerkenswerth sind ferner einige Ausnahmsfälle, welche durch unsere Bedingungsungleichheit nicht unmittelbar angezeigt werden; zuerst, dass es ebenfalls nur eine Lösung gibt, wenn 5= ist; denn dann ist sin= siny, folglich auch Pe= P. und der eine Werth von a gleich 0 oder 180„ während der andere gleich 2, oder 1800— 2 P. ist; wenn aber a= 0 ist, so existirt ebensowenig ein Drei- eck, wie wenn a= 180° ist, in welchem Falle das Dreieck zu einem Zweieck geworden ist. Zweitens