Neue Beiträge zum Problem des Apollonius.

(Schluss der vorjährigen Abhandlung.)

Es ist interessant, die Werthe der Summen auf beiden Seiten der Formeln 51 und 52 kennen zu lernen. Auf dem Wege, der dazu führt, kommt man zu- gleich zur Entwicklung der Schubert'schen Relationen. Wir formen zu diesem Zwecke vorerst die Ausdrücke für, oder»*— 1(Gl. 35), 4 oder— T.²(Gl. 49), 2+ 271 4(aus Gl. 27 und 28) und 49˙D'(aus Gl. 29) so um, dass darin statt der Grössen d die Mittelpunktsentfernungen c der gegebenen Kugeln vorkommen. Es ist nämlich:

0 er(74— 7) 942—(1= 1.) 6..—(.— r.) — 1 D* 612—(r. r) 0 de—(r. rn) 64.—(r.=r.) 441 2 2 2— ² 2—(7/— 7,) G1s—(r.— 12)(23(r.— 1) 0 634(r. r.) 614(.=*.)“ 6.—(.= 1.): 67,41== r.) 0

Durch allmähliche Erhöhung der hier vorkommenden Determinante auf den Tten Grad erhält man leicht:

2 2 2

1 21² r. 7 r. 1 713 Gcr r.+ 2r. r, d r.+ 2r. r,. r. † 2r. r.

=— 1D*1 e+ 2r. 1.— r.* r.* C23— 7 271 1 Ce, r+ 27.— 1 cia*+† 27. 7.— r. dn r.+† 27., r. 7* GC34— r. † 27 7. 1 c.+ 2r1 r.— r.“..)— r.+† 27, r. C.— r.+ 27. r. r. 1 0 1 1 1 1 0 1 71 4½: 131 1.

—— 1 0D* 3 1 2 r.* 27. 7½ c*-†. 27. 76 c4+ 271 74—

7 1 G12+ 27. 7½ 272½ Ces J. 274 1 424+ 27271 7, 1 1s †. 271 7, c 27. 7. 2 7½ G34+ 27 r. r. 1.+ 2r. r. c..+ 27 1. G.*+ 27. r. 27.