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„ wird ferner negativ, wenn in 37 die Grössen d., positiv, d.*, dis, de. positiv, und dα, de beliebig positiv oder negativ angenommen werden; ebenso, wenn man d, daa, dis negativ, d, positiv, und d.α, d, beliebig positiv oder ne- gativ macht. Die Aufgabe wird also dann unmöglich, wenn in dem Tetraeder F. entweder bloss eine Kante, oder wenn 2 Kanten, die sich nicht gegenüberliegen. oder wenn 3 Kanten, von denen 2 sich gegenüberliegen, oder wenn 4 Kanten, von denen 2 sich gegenüberliegen, die andern nicht, oder wenn 5 Kanten imaginär ge- nommen werden. In allen übrigen Fällen ist sie im Allgemeinen möglich, es sei denn, dass die Massverhältnisse der Kanten so beschaffen sind, dass die Differen⸗ auf der rechten Seite obiger Gleichung negativ wird. Wenn aber irgend eine Kante des Tetraeders V, imaginär ist, so heisst dies, geometrisch interpretirt, nichts an- deres, als dass die zwei Kugeln, denen die Kante als Verbindungsstrecke der Be- rührungspunkte ihrer gemeinschaftlichen äusseren Tangentialebene angehört, einan- der einschliessen. Hiernach ist die Aufgabe unmöglich in folgenden Fällen:

1) wenn eine Kugel von einer andern eingeschlossen wird, die 2 andern aber

weder sich noch jene einschliessen oder von ihnen eingeschlossen werden;

2) wenn eine Kugel zwei andere sich nicht einschliessende einschliesst, die

dritte aber nicht;

3) wenn zwei Kugeln zugleich eine dritte einschliessen, nicht aber die vierte:

4) wenn zwei Kugeln zugleich eine dritte einschliessen und die eine von ihnen

die vierte;

5) wenn eine Kugel die drei übrigen einschliesst, von diesen aber eine Kugel

eine andere einschliesst, die dritte nicht;

6) wenn eine Kugel die drei übrigen einschliesst, von diesen aber zwei zu-

gleich die dritte einschliessen;

7) wenn zwei Kugeln zugleich die zwei übrigen einschliessen, von diesen aber

eine die andere.

Merkwürdig ist, dass unter den aufgezählten Fällen manche nicht vorkom- kommen, in denen unzweifelhaft keine Lösung existirt. Schliesst z. B. die erste Kugel die zweite und die dritte die vierte ein, d. h. sind d., und d, negativ, während die übrigen Kantenquadrate positiv genommen werden, so bleibt obiger Ausdruck für, unverändert, woraus jedoch freilich noch nicht hervorgeht, dass er auch positiv sei; denn das hängt von den Massverhältnissen der Kanten ab. In unserem Falle sind aber diese Massverhältnisse derart, dass, negativ werden muss. Um dies zu beweisen, betrachten wir die zwei möglichen Grenzlagen der gegebenen Kugeln. Die erste Grenzlage findet statt, wenn die erste die zweite und die vierte die dritte einschliessend berührt; dann ist sowohl de als auch d,. gleich Null und 44=— 1 D*.(d. d,,— d.. des)“, also negativ. In der That ist eine Berührungskugel nur dann möglich, wenn die Normale in dem Berührungs- punkt von k. und k. die Normale in dem Berührungspunkt von Ne und k. schneidet, wozu erforderlich ist, dass die Mittelpunkte der vier Kugeln in einer Ebene liegen,