15 selben Art berühren muss. In der That fügen wir zu den Gleichungen 15. 16 und 17, welche die Berührung der 4 gegebenen Kugeln durch die gesuchte aus- drücken, noch die Gleichungen: A e.= 0,&2 α 0,
hinzu, welche bedeuten, dass der Mittelpunkt der Berührungskugel mit den Mittel- punkten der zwei ersten gegebenen Kugeln in gerader Linie liege, so erhält man als Bedingung dafür, dass diese 5 Gleichungen zusammenbestehen, die Identität:
4.2 92 72 71 2222 da(c2 92 7½(r. 12)* di da 9 74 714 73 dus 1 3 92 78(r.. ra)(r.—r) d. 3 0=. 694 7⁴ 21 24 dua— r. Sr, r. 64 64 71(r. 7)(r. Se r9 di . A 0 0 0 8—&, 0 0 0 7* 0— 0 0 72 0 A 0 0
und mit Berücksichtigung der Gleichungen 10 und 34, Nenn man die'erste Ver- tikalreihe mit α, die zweite mit, die dritte mit, multiplicirt und die Summe von der vierten abzieht:
a 6 772 der dis 1 Cls 63 1— dis— d † da dis 0‿ r.—,(ka 647— du 1 dia+ tl2. daa. 1 2 6.— a 0 0 0 7 0— a. 0 0 oder, wenn man jetzt d.= 0 setzt und die letzte Vertikalreihe zur vorletzten addirt 6 7, 0 0 94 7⁴ dt2 Clu⸗ G* 9, 72 1 1 dla(lia 0—„, 4 74(da. ſa n 2.— ½ 0 4 1, 2mI2 7 e 0. 0 22 2 h, ee 14 Ai. . 0,——. 0 0
woraus d14. da.=(das da« folgt.
Je nach den Massverhältnissen der Kanten gibt es auch noch andere Fälle, in denen Null werden kann, die sich aber nicht speciell characterisiren lassen. Dagegen lässt sich eine ziemliche Anzahl von Fällen bestimmen, in denen ₰, negativ werden muss, die Aufgabe also unlösbar ist. Diese Forderung wird erfüllt, sobald eins oder zwei der Kantenquadrate dν, das, d.. etc. verschwinden, d. h. sobald eine der gegebenen Kugeln zwei andere der gegebenen Kugeln, oder wenn die erste die zweite und die dritte die vierte einschliessend berühren; ebenso, wenn drei Kanten verschwinden, von denen zwei einander gegenüberliegen, d. h. wenn die erste Kugel die zweite, diese die dritte und endlich diese die vierte ein- schliessend berührt; ebenso wenn 4 Kanten verschwinden, von denen je zwei ein- ander gegenüberliegen, d. h. wenn sowohl die erste als die vierte Kugel die zweite und die dritte einschliessend berühren.