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. 1 /): 12² 12² 13 23 14 24 A 4 0 1 das d2— das cs dli—..
d. is— d.. dis— d.—1 Zieht man ebenso die erste Horizontalreihe von der zweiten, dritten und vierten Horizontalreihe ab, So ist: 0 7212 dis da 0O ch. d.. d., d. 0
Betrachten wir nun die geometrische Bedeutung der Grössen d,, d,s, di, das, dau, daa. Aus den Relationen 10. 11, 12 und 33 wird es klar, dass deeν de, d, die Quadrate der geradlinigen Strecken zwischen den Berührungspunkten einer an die Kugeln I, ka, ka gelegten gemeinschaftlichen äusseren Tangentialebene sind; d.s, oa, da bedeuten das Näümliche für eine Tangentialebene an die Kugeln k.. I.. ka etc. Construirt man aus diesen Verbindungsstrecken als Kanten ein Tetraeder, und nennt dessen sechsfaches Volum V, und den Radius der ihm umschriebenen Kugel R., so ist nach Baltzer Det.§. 16, 8:
36) 2,= 4 D= P n
Die Grösse D ist gleich dem sechsfachen Volum des Mittelpunktstetraeders der gegebenen Kugeln, und da dieses vorausgesetztermassen immer reell ist, so ist auch D' immer positiy oder im äussersten Fall gleich Null, wo dann die Mittel- punkte aller vier Kugelm in einer Ebene liegen, ein Fall, den wir weiter unten speciell betrachten werden. Das Zeichen von ₰, hängt also bloss von den Zeichen der Grössen y, und R. ab, und zwar ist 4 positiv, wenn T. und N entweder beide zugleich reell oder beide zugleich imagi- när sind, dagegen negativ, wenn eine dieser Grössen reell, die an- dere aber imaginär ist. Die ganze Discriminante des ersten Paares conju- girter Schnittkugeln hat zum Ausdruck 4 D*E, 24 D* 0* tg²G].
Ein specieller Fall, in velchem, also auch die ganze Diseri- minante, positiv wird, ist der, wenn die Radien der vier gegebenen Kugeln gleich sind; denn alsdann gehen die Grössen diν, d« etc. in die Quadrate der Mittelpunktsentfernungen der 4 Kugeln, folglich V, in D über und. man hat 4.= 4 D“. Da nun in diesem Falle R, zum Radius der dem Mittel- punktstetraeder umschriebenen Kugel geworden ist, dieses aber der Voraussetzung gemäss immer reell ist, so ist positiv; die Lösungen sind also unbedingt mög- lich. Das nämliche gilt, wenn die 4 Kugeln in Punkte degeneriren. llier ver- schwindet nicht, wie man etwa hätte erwarten können, weil es nur eine Schmitt-
12 — 1 z. FT 1
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