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Kugeln mit dieser Senkrechten bestimmen auf derselben ein Punktsystem, dessen Mittelpunkt der Fusspunkt dieser Senkrechten und dessen Potenz gleich E*½— 9* ist, wo unter E die Entfernung des Potenzpunktes von der Aehnlichkeitsebene zu verstehen ist, welche man aus den Coordinaten dieses Punktes und der Gleichung der letzteren findet zu: 7„+ 2„ 4 31)= 2 0D1 D*

Aber auch die Mittelpunkte der Paare conjugirter Kugeln bilden ein Punktsystem, dessen einer Doppelpunkt der Potenzpunkt und dessen anderer der Pol der Aehnlichkeitsebene in Bezug auf die Orthogonalkugel ist. Die Eutfernung des Mittelpunkts einer der conjugirten Schmittkugeln von der Aehnlichkeitsebene findet sich nämlich aus Gleichung 30:

„ † 24 Lrieets—(+ 21r) X=I 4DOtgo 2 D 1†* D? 2— Dtg) oder nach 22 und 31:

2 2 4 5 r“ cos und E4 4 55 r⁴ ˙s ο, wo r' und die Radien der beiden conjugirten Schnittkugeln bedeuten. Die Ent- fernungen der bezüglichen Mittelpunkte vom Potenzpunkt verhalten sich also wie die Radien und, welche mit ihren andern Endpunkten in einem Punkte der Aehnlichkeitsebene zusammenstossen. Legt man deshalb eine Ebene durch den Potenzpunkt senkrecht auf die Aehnlichkeitsebene, so entwerfen auf ihr die Radien aller conjugirten Kugeln ein gleichseitiges hyperbolisches Büschel, dessen Strahlen mit dem Radius der Orthogonalkugel gleiche Winkel bilden. Wenn die Orthogonalkugel die Aehnlichkeitsebene nicht schneidet, oder wenn ihr Radius imaginär wird, so sind auch die Strahlen dieses Büschels imaginär, während die Involution der Mittelpunkte reell bleibt. Dass der andere auf dem ersten senkrecht stehende Doppelstrahl die Verbindungslinie der Mittelpunkte in dem Pol der Aehn- lichkeitsebene in Bezug auf die Orthogonalkugel treffen muss, ergibt sich leicht.

Es ist ferner leicht zu zeigen, dass die übrigen sieben Paare conjugirter Kugeln mit der Orthogonalkugel je eine der sieben Aehnlichkeitsebenen zur ge- meinschaftlichen Potenzebene haben, und zwar gehört, wenn man den äusseren Aehnlichkeitspunkt zweier Kugeln Ka, k, durch 4 und den inneren durch 2.o bezeichnet, zum 2⁰*„ Paare die Aehnlichkeitsebene, auf welcher.2, A4, 4r, Js. I, J. liegen.

E+

„ Zten„„„„„ 413, 414, 444) Inl, Jas, Jau„ „ 4teb„„„„„ 418, 414 4445 J, I.„ „ 5 9„ 9„„„ 41, 418, 4, Ja. Jas, Jan„ „ 6ten„„„„„ 42 444 Jus. J. n. J.„

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