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Ebenso findet man für den Schnittwinkel 180—: 23) 4 1— 4 Z— 4 D2(Z r.)“ tg*= 0, oder geordnet:. 4 22(4— D'tg*)— 4 Z( 21. D tg*ο)+— 4. D’tg*=.

Damit ist die Aüfgabe gelöst; denn die letzten Gleichungen liefern Y und Z d. h. r cos †r. und r cos— r., also auch durch lauter bekannte Grössen ausgedrückt und die Gleichungen 19 und 20 die zugehörigen α, β und 7. Die Gleichungen 19 und 20 lehren überdies, dass die,„, 7 reell sind, sobald reelle Werthe für V und Z gefunden werden, aber complex, wenn Y und Z. complex sind. Y und Z sind ferner immer zu gleicher Zeit reell oder complex; denn die Gleichungen 22 und 23 haben dieselbe Discriminante. Endlich sind V und immer von demselben absoluten Werth, aber von entgegengesctztem Zeichen, wie ein Blick anf die Gleichungen 22 und 23 lehrt; desswegen sind aber auch die aus diesen Gleichungen hervorgehenden Werthe von y entgegengesetzt gleich. Gibt also die Gleichung 22, unter der Voraussetzung reeller Wurzeln, zwei positive Werthe für, so gibt die Gleichung 23 zwei negative von derselben absoluten Grösse; gibt die erste ein positives und ein negatives r, so gibt die zweite ein negatives und ein positives von bezüglich derselben Grösse, und gibt endlich die erste Gleichung zwei negative ꝛ, so liefert die zweite zwei positive r. Nun muss r, als geometrische Grösse betrachtet, im Allgemeinen einen positiven Werth haben, und nur, wo entgegengesetzte Lagenverhältnisse in Betracht kommen, hat ein negativer Werth desselben einen geometrisch deutbaren Sinn. Desshalb gibt es unter der Voraussetzung, die Wurzeln der Gleichungen 22 und 23 seien reell, entweder zwei Schnittkugeln, welche die gegebenen Kugeln unter dem Winkel schneiden, oder eine Schnittkugel, die sie unter dem Winkel, und eine andere, die sie unter dem Winkel 1800—, oder zwei Schnittkugeln, die sie unter dem Winkel 1800— schneiden. Schnittkugeln, die entweder beide aus einer der Gleichungen 22 und 23, oder die eine aus dieser, die andere aus jener Gleichung bestimmt werden, nennt man conjugirte Schnittkugeln.

Ausser der bisher betrachteten Lage der zwei conjugirten Schnittkugeln gibt. es noch 7 verschiedene Lagen derselben. Entweder uämlich schneidet die Schnitt- kugel drei der gegebenen Kugeln unter dem Winkel und eine Kugel unter dem Winkel 180⁰—, oder sie schneidet drei unter dem Winkel 180⁰—c und eine unter dem Winkel; dies gibt 4 Fälle, welche man analytisch dadurch charac- terisiren kann, dass man in unseren Formeln nacheinander rl., r, r, r. mit dem negativen Zeichen versieht. Die Schnittkugel kann endlich zwei der gegebenen Kugeln unter dem Winkel, die andern unter dem Winkel 1800— w schneiden, was die übrigen 3 Füälle liefert, für welche man r., r, oder r., 7, oder 7, 7, negativ setzen muss. In allen diesen Fällen erhält man nach Durchführung der Rechnung in einer der oben gegebenen analogen Weise zum Schluss zwei Gleichungen