— 2. und die Gleichung der gesuchten Schnittkugel mit dem Radius/ und den Mittel- coordinaten α, 9, 7; 5)(2= c) † G H) †“=r Die Gleichungen der Tangentialebenen, welche man in einem Punkte a ⁹μννν

des Kreisschnitts der beiden Kugeln 2 und 5 an dieselben gelegt hat, heissen

(E*— d..)(— d.²) †(9— 52) 0 8 92) †(2* 7²)(æ— 72)— r.,

(7— a)(— a)+— 6)— H) ¼ G— 7)( 7)=7“ während zugleich noch die Gleichungen 2 und 5 gelten, wenn man in ihnen x, 9, 2 durch,„“, ⸗ ersetzt. Der Winkel, welchen die beiden Tangentialebenen, be- züglich der Winkel, welchen die in ihrem gemeinschaftlichen Berührungspunkte auf ihnen errichteten Senkrechten mit einander bilden, wird bestimmt durch die Gleichung

(2— 41½)(-*— ℳ) †(— 9²)(— 9) †(2*— 7³)(.— 7) Cos h †. 7 2 7 2 7 2 ⸗ 2 7 2 7 2“ /r= e) † G, S.) †E= 7.). Ler= a)* † r= g)— 7“] Der Nenner des Bruchs auf der rechten Seite ist vermöge der Gleichungen 2 und 5 gleich nr,; addirt man die eben genannten Gleichungen und vergleicht, dss Resultat mit dem Zähler, so reducirt sich derselbe in der Art, dass man

erhält:

4+ r. l(æ. a.) †(5— 4.) 4( 72)1. 27* 2

Das erhaltene Resultat ist insofern unbestimmt, als je nach der Wahl des positiven oder negativen Zeichens diese Gleichung entweder die Bedingung aus- drückt, welche erfüllt sein muss, damit sich die beiden Kugeln unter dem Winkel œ schneiden, oder die Bedingung, dass sie sich unter dem Supplementwinkel von schneiden; hiernach lauten die Bedingungen dafür, dass die Kugeln 1—4 von der Kugel 5 entweder alle unter dem Winkel« oder alle unter dem Supplement- winkel von geschnitten werden:.

6) αε‿.ςα ⁊T⁊J r †r. ck 2rT. C0s G

7)(A— e)“(5—„)“+(7— 7)“=r 4 r. 271. C0s

8)(& ‧— a)+(6— 96)“+(— 7)“= T+. 27 1 C08

9)(& 1*.⁴)+(6 ₰6.) 3(7. 74,)=r* 72 2 7 1 008 0.

Macht man in diesen Gleichungen= 0, also cos= 1, so stellen sie die Bedingungen dar, unter welchen die vier Kugeln 1—4 von der Kugel 5 aus- schliessend oder einschliessend berührt werden und zwar gilt das obere positive Zeichen auf der rechten Seite für die ausschliessende, das untere negative für die einschliessende Berührung.

Um aus diesen Gleichungen α, 5, und y zu bestimmen, ziehe man 7, 8, 9 nacheinander von 6 ab, wodurch man erhält:

2 a α † 2 G◻ † 27 7.=.„*†,+ 72˙†r.— r.k 2r(r.— 1.) cos= 3 4+ 92* † 7 ½—(r. 73) 2(r.— 12)(r(08 ri),

r c08 G¶%O˙ö=+