Neue Beiträge zum Problem des Apollonius.

Eine Kugel, welche vier gegebene Kugeln zugleich berührt, hat bekanntlich Gergonne in eleganter Weise zu construiren gelehrt; nicht weniger elegant ist, die Construction, welche A. Miquel im 11. Bande des Journal de mathématiques par Liouville 1846 pag. 75 von der Kugel gegeben hat, welche vier gegebene Kugeln, jede unter einem gegebenen Winkel, schneidet. Beide Geometer bedienen sich der synthetischen Methode. Obschon nun bei Anwendung der auf diesem Wege von ihnen gefundenen Constructionen in jedem einzelnen Falle sofort die Möglich- keit oder Unmöglichkeit der Lösung der Aufgabe sichtbar wird, so kann man doch nicht erkennen, inwiefern die Möglichkeit und Modalität der Lösung von der Lage und Grösse der gegebenen Kugeln überhaupt abhängig sei. Ich habe im Band VI. der Mathematischen Amnalen pag. 613— 632 versucht, diese Lücke für die entsprechende Aufgabe in der Ebene auszufüllen; dasselbe für vier Kugeln im Raum zu leisten, ist das Ziel der folgenden Untersuchung. Ich werde mich dabei darauf beschränken, die Aufgabe in folgender Form zu lösen und zu discutiren:

Es soll eine Kugel gefunden werden, welche jede von vier gegebeneu Kugeln ki, Ke, ke, ka unter demselben Winkel schneidet. Dabei verstehen wir unter dem Schnittwinkel den Winkel, welchen die ungleich gerichteten Normalen auf zwei in einem Punkte des Schnittkreises zweier Kugeln an dieselben gelegten Tangentialebenen mit einander bilden. Wenn man den Mittelpunkt von I, zum Anfangspunkte rechtwinkliger Coordinaten macht, die Mittelpunktscoordinaten von k., Ka, k. bezüglich mit, 5, 7e, s, 9, 7*,.,*³, 7. und die Radien der vier Kugeln nach einander mit r, r, 7, r. bezeichnet, so sind die Gleichungen der vier Kugeln:

1) 22½4**

2)(— aa)+(o= 5e) †(— 7.) 3) 4— a.n)“+(9 21 33)** C 75)“ 7 4, 4)(E 2)*† 9— 2. 4 †(e 74)*— r.“,