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Da der zweite Faktor durch keinen Wert von ci auf Null gebracht werden kann, so giebt es nur einen Wert von ci und dem entsprechend von al, der die Normalform so umgestaltet, daß die Koeffizienten von und„ gleich sind.

Diese Werte sind:

m n 2

C1———

n(m+ n)— 2 p.

al=— 1 m— n

Demnach könnten alle Kegelschnitte in der gedachten Form dargestellt werden; ein besonderer Fall tritt aber ein, wenn die Kurve eine Parabel,(m+ n)²= 4p, ist. Wird dann der Wert 2(m+ n)²

2 p 1 5

—

in den Wert für al eingesetzt, so entsteht

2(m— n)—(m+ n)²

41=—

n. m+n. 2(m+ n) 8 2

Dann ist ai= ci, der eine der Pole liegt im Unendlichen und die Gleichung reduziert sich auf das konstante Glied:.

4(m n) 4(m n) ² 2 2 b. al²— ai(m+ n)+ 1= 11—+ 1(— ¹) 1

welches nicht Null ist. Demnach kann die Parabel nieht in der Form a+‿¶ m(a+| p)+p= 0 dargestellt werden.

Welche Eigenschaft ergiebt sich nun für die Kurven dieser Form(Ellipse und Parabel)? Es lassen sich und vertauschen. Wenn demnach(s. Fig. 4) P ein Punkt der Kurve und APſCP“, AP“CP, so ist es auch P“; demnach APCP’ ein Parallelogramm, in dem sich die Diagonalen halbieren oder MP= MP“. Je ein Punkt P der Kurve hat also einen Gegenpunkt, der auf der Geraden MP liegt in einem Abstand MP= MP von dem Punkte M. Ellipse und Parabel haben einen Mittelpunkt. Die Strecke PMP“ heißt ein Durchmesser, P und P- Gegenpunkte.

An die Gegenpunkte können parallele Tangenten gezogen werden; denn die Pole A und C, auf die die Gleichung

‿ m(a+)+† p= 0

bezogen wird, sind Gegenpunkte eines Kegelschnitts. Denken wir uns nun zwei Gegenpunkte der Hyperbel, so wird der Unterschied in der Richtung der an diese gezogenen Tangenten um so geringer, je weiter die Punkte vom Mittelpunkt entfernt sind. Rücken dieselben ins Unendliche, so fallen die beiden Tangenten zusammen; diese Tangente, die die Hyperbel in zwei Punkten berührt, heißt Asymptote. Es giebt deren zwei, da vier unendlich ferne Punkte vorhanden sind. Sie gehen beide durch den Kurvenmittelpunkt, da sie Gegenpunkte verbinden. Unendlich ferne Punkte der Hyperbel von obiger Form sind:

a==— m+ Vm2— Pp. Die Richtung dieser Strahlen ist die der Asymptoten. Demnach sind die Gleichungen derselben nach Abschnitt II: 1 a+= 2(—m †. Vm p) 2+,= 2(m— Vm y) Beispiel: Gleichung der Kurve:

+ 4(+) † 7.